[論文レビュー] A Construction of Binary Linear Codes from Boolean Functions

Cunsheng Ding|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 35被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、特定の汎用的構成を用いてブール関数から二値線形符号を構築する最近の進展についてのサーベイを提示し、最大で5通りの重みを持つ符号に焦点を当てる。差分集合とo多項式に基づく新しい構成が導入され、特にGF(2^m)上での特定の多項式形から導かれる一重みおよび四重み符号のパラメータと重み分布に関する11の未解決予想が提示される。

ABSTRACT

Boolean functions have important applications in cryptography and coding theory. Two famous classes of binary codes derived from Boolean functions are the Reed-Muller codes and Kerdock codes. In the past two decades, a lot of progress on the study of applications of Boolean functions in coding theory has been made. Two generic constructions of binary linear codes with Boolean functions have been well investigated in the literature. The objective of this paper is twofold. The first is to provide a survey on recent results, and the other is to propose open problems on one of the two generic constructions of binary linear codes with Boolean functions. These open problems are expected to stimulate further research on binary linear codes from Boolean functions.

研究の動機と目的

• 第二の汎用的構成を用いたブール関数からの二値線形符号の構築に関する最近の発展をサーベイすること。
• これらの符号の構造とパラメータに関連する未解決問題を特定し、特に差分集合とo多項式に焦点を当てて提示すること。
• 特定の差分集合の存在と関連する二値符号の重み分布に関する11の予想を提示することで、さらなる研究を促進すること。
• ブール関数、o多項式、および最適または準最適なパラメータを持つ線形符号との間の関係を調査すること。
• 代数的および組合せ的構成を用いて、一重み、二重み、三重み、四重み、五重み符号を含む、重みが少ない符号の既知の族を拡張すること。

提案手法

• ブール関数の補集合を用いて二値線形符号を構築する。ここで $ D_f = \{x \in \mathrm{GF}(2^m) : f(x) = 1\} $ と定義され、符号 $ \mathcal{C}_{D_f} $ は $ D_f $ の特性ベクトルの張る空間として形成される。
• 加法的特徴とワルシュ変換を用いて、公式 $ \hat{f}(w) = \sum_{x \in \mathrm{GF}(2^m)} (-1)^{f(x) + \mathrm{Tr}(wx)} $ を通じて符号の重み分布を分析する。
• $ (\mathrm{GF}(2^m)^*, \times) $ における差分集合の理論を適用し、特にパラメータ $ (2^m - 1, 2^{m-1} - 1, 2^{m-2} - 1) $ を持つシンガー型差分集合を焦点として、特定のパラメータを持つ符号を構築する。
• o多項式と $ e $-対-1 多項式、例えば $ f(x) = x + x^2 + x^{2^m - 2^{m/2} + 1} $ を用いた構成を導入し、制御された重み分布を持つ符号を生成する。
• 補集合構成 $ \overline{\mathcal{C}} = \mathcal{C} \cup \{ \mathbf{c} + \mathbf{1} \} $ を用いて符号を拡張し、次元を増加させるとともに、既知の重み分布を持つ新しい符号を導出する。
• Magmaによる計算的検証を活用し、十分に大きな $ m $ に対して予想を確認することで、提案された符号のパラメータと重み分布の妥当性を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのブール関数 $ f $ に対して、符号 $ \mathcal{C}_{D(f)} $ が特定の重み分布（例えば一重みまたは四重み符号）を持つのか？
• RQ2 $ D(f)^* $ が $ (\mathrm{GF}(2^m)^*, \times) $ においてシンガー型パラメータを持つ差分集合となる条件は何か？
• RQ3 o多項式および特定の多項式形から構築された符号 $ \mathcal{C}_{D(f)^*} $ の正確なパラメータと重み分布は何か？
• RQ4 差分集合の性質を証明せずに、$ \mathcal{C}_{D(f)} $ の重み分布を同定することは可能か（Conjecture 41で提唱されているように）？
• RQ5 $ f(x) = x + x^2 + x^{2^m - 2^{m/2} + 1} $ や類似の形の構成が、最適または準最適なパラメータを持つ符号をどのように得るのか？

主な発見

• 表11の重み分布を持つ $ [2^{m-1}, m] $ 符号から構築された符号 $ \overline{\mathcal{C}} $ は、パラメータ $ [2^{m-1}, m+1] $ を持ち、表13に示される重み分布を持つ。
• $ m = 5 $ の場合、符号 $ \overline{\mathcal{C}} $ はパラメータ $ [16, 6, 6] $ を持ち、これは最適である。$ m = 7 $ の場合、パラメータ $ [64, 8, 28] $ を持ち、ほぼ最適である。
• 予想39は、$ f(x) = x + x^2 + x^{2^m - 2^{m/2} + 1} $ に対して、符号 $ \mathcal{C}_{D(f)} $ がパラメータ $ [2^{m-1}, m, 2^{m-2} - 2^{(m-2)/2}] $ と表12に示される重み分布を持つと提唱する。
• 予想40は、$ m $ の偶奇に応じて3つの多項式族 $ f $ に対して、$ D(f)^* $ が $ (\mathrm{GF}(2^m)^*, \times) $ においてシンガー型パラメータ $ (2^m - 1, 2^{m-1} - 1, 2^{m-2} - 1) $ を持つ差分集合であると示唆する。
• 予想41は、予想40に含まれる多項式に対して、符号 $ \mathcal{C}_{D(f)^*} $ がパラメータ $ [2^{m-1} - 1, m-1, 2^{m-2}] $ を持ち、一重み符号であると述べる。
• すべての予想は、Magmaを用いた計算的検証により十分に大きな $ m $ に対して確認された。一般の証明が存在しないものの、それらの妥当性を支持する。