[論文レビュー] A construction of $C^*$-algebras from $C^*$-correspondences

Takeshi Katsura|ArXiv.org|Sep 3, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用数 72

ひとこと要約

この論文は、任意のC*-対応から一様なC*-代数の構成を提示する—Cuntz-Pimsner代数、ヒルベルトC*-双モジュラーによる交叉積、およびグラフ代数を一般化する—左作用が単射でないか退化している場合でさえも、対応の完全な構造を保つ普遍的なC*-表現によってC*-代数を定義することで実現する。

ABSTRACT

We introduce a method to define $C^*$-algebras from $C^*$-correspondences. Our construction generalizes Cuntz-Pimsner algebras, crossed products by Hilbert $C^*$-modules, and graph algebras.

研究の動機と目的

• 既存のC*-代数の構成（Cuntz-Pimsner代数や交叉積など）を、任意のC*-対応に適用可能な単一の枠組みに一般化すること。
• 従来の構成が左作用が単射または非退化であることを要請していたという制限を解消し、例えばシンクを含むグラフ代数のような重要な例を含める。
• ヒルベルトC*-双モジュラーのためのAbadie, Eilers, Exelの構成と、C*-対応のためのPimsnerの構成を、一つの整合的な方法に統合すること。
• 左作用が単射でない場合でも、元のC*-対応の完全な情報を保持するC*-代数が得られることを保証すること。
• トポロジカルグラフ代数や部分自己同型による交叉積を特別な場合として自然に含む体系的な方法を提供すること。

提案手法

• C*-代数A上のC*-対応を、右ヒルベルトA加群に加え、*-準同型φ_X: A → L(X)（左作用）を備えたものとして定義する。
• Fock空間の構成を用い、加群構造に由来する関係を課すことにより、C*-対応の普遍表現を用いて普遍的なC*-代数O_Xを構成する。
• O_XをFock加群F_X上の有界作用素のC*-代数における、生成作用素と消滅作用素によって生成される閉*部分代数として定義する。
• 単射性を要請しない普遍的性質を用いることで、非単射または退化した左作用を有するC*-対応に対してもこの構成が成立することを保証する。
• C*-対応からO_Xへの写像が単射であることを確立し、左作用が単射でない場合でも元の対応がO_Xから回復可能であることを保証する。
• この構成を用いて既知の例を再現する：左作用が単射のとき、O_Xは古典的なCuntz-Pimsner代数と一致する。C*-対応がヒルベルトC*-双モジュラーであるとき、O_XはAbadie-Eilers-Exelの結果と一致する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cuntz-Pimsner代数、部分自己同型による交叉積、およびグラフ代数を統一する単一のC*-代数の構成が可能か？
• RQ2 左作用が非単射または退化しているC*-対応へCuntz-Pimsner構成を拡張するために必要な条件は何か？
• RQ3 左作用が単射でない場合でも、C*-対応のC*-代数が元の対応を完全に符号化できるか？
• RQ4 この新しい構成は、ヒルベルトC*-双モジュラーおよびトポロジカルグラフの既存の構成とどのように関係するか？
• RQ5 単一の枠組みの中で単射および非単射の両ケースを自然に含む普遍的構成が存在するか？

主な発見

• 提案された構成は、Cuntz-Pimsner代数、Abadie-Eilers-Exelの交叉積、および任意の有向グラフ（シンクを含む）のグラフ代数を一般化する。
• C*-対応の左作用が単射であるとき、得られるC*-代数O_Xは古典的なCuntz-Pimsner代数と同型である。
• C*-対応がヒルベルトC*-双モジュラーから生じるとき、この構成はAbadie-Eilers-Exelの研究における同じC*-代数を生成する。
• 任意の有向グラフ（シンクを含む）のグラフ代数は、この構成によって自然に得られる。
• DrinenとKumjianが定義したトポロジカルグラフ代数は、ここでのC*-代数のクラスに含まれる。
• C*-対応からO_Xへの写像は単射であるため、左作用が単射でない場合でも元のC*-対応はO_Xから再構成可能である。