[論文レビュー] A construction of certain weak colimits and an exactness property of the 2-category of categories

María Emilia Descotte, Eduardo J. Dubuc+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、2-圏におけるカテゴリの圏の特別な部分圏Σを用いて構造的2セルの可逆性を制御することで、弱コロジの一般化された概念、すなわちσ-コロジを導入する。σ-フィルター型のσ-コロジの明示的構成を提供し、有限重み付き擬擬極限と可換であることを証明することで、2ファンクターの正確性を保つ基礎的な正確性性質を確立する。

ABSTRACT

Given a 2-category $\mathcal{A}$, a $2$-functor $\mathcal{A} \overset {F} {\longrightarrow} \mathcal{C}at$ and a distinguished 1-subcategory $Σ\subset \mathcal{A}$ containing all the objects, a $σ$-cone for $F$ (with respect to $Σ$) is a lax cone such that the structural $2$-cells corresponding to the arrows of $Σ$ are invertible. The conical $σ$-limit is the universal (up to isomorphism) $σ$-cone. The notion of $σ$-limit generalises the well known notions of pseudo and lax limit. We consider the fundamental notion of $σ$-filtered} pair $(\mathcal{A}, \, Σ)$ which generalises the notion of 2-filtered 2-category. We give an explicit construction of $σ$-filtered $σ$-colimits of categories, construction which allows computations with these colimits. We then state and prove a basic exactness property of the 2-category of categories, namely, that $σ$-filtered $σ$-colimits commute with finite weighted pseudo (or bi) limits. An important corollary of this result is that a $σ$-filtered $σ$-colimit of exact category valued 2-functors is exact. This corollary is essential in the 2-dimensional theory of flat and pro-representable 2-functors, that we develop elsewhere.

研究の動機と目的

• 部分圏Σに関するσ錐とσ-コロジを導入することで、2-圏における弱コロジの概念を一般化すること。
• 2-圏におけるカテゴリのσ-フィルター型コロジの明示的構成を提供し、具体的な計算を可能にすること。
• Catにおける基本的な正確性性質を確立する：σ-フィルター型σ-コロジは有限重み付き擬擬極限と可換である。
• σ-フィルター型σ-コロジが正確な2ファンクターの正確性を保つことの証明を行い、2次元の平坦およびプロ代表的ファンクターへの応用を支援すること。

提案手法

• Σに属する射に付随する構造的2セルが可逆であるような、lax錐としてのσ錐を定義し、擬擬極限およびlax極限を一般化する。
• 特定の適合性を持つ射の族の存在を保証するため、2-フィルター型カテゴリを一般化するσ-フィルター型ペア (A, Σ) の概念を導入する。
• Σに関する適合性条件を満たす図式の同値類を用いた具体的なモデルを通じて、カテゴリのσ-フィルター型σ-コロジを構成する。
• 2自然性と2セルの貼り合わせに依存する、premorphismおよびそのliftを用いてσ-コロジの普遍性を定義する。
• 自然変換がコロジ構成を通じてどのように持ち上がかるかを分析することで、Catにおける有限重み付き擬擬極限とσ-フィルター型σ-コロジの可換性を証明する。
• 可換性結果を応用し、σ-コロジの普遍性と2自然性を用いて、正確な2ファンクターのσ-フィルター型σ-コロジが正確であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分圏Σを用いて構造的2セルの可逆性を制御することで、2-圏における弱コロジをどのように一般化できるか？
• RQ2 2-圏におけるカテゴリのσ-フィルター型σ-コロジの明示的構成は何か？
• RQ3 Catにおけるσ-フィルター型σ-コロジは有限重み付き擬擬極限と可換であるか？このような可換性の性質の意味は何か？
• RQ4 σ-フィルター型σ-コロジにおいて正確性が保存されるか？また、これは平坦2ファンクターの理論とどのように関係するか？

主な発見

• Catにおけるσ-フィルター型σ-コロジの明示的構成が提供され、Σ適合データを持つ図式の同値類を用いた効果的な計算が可能になる。
• Catにおけるσ-フィルター型σ-コロジは有限重み付き擬擬極限と可換であり、Setにおけるフィルター型コロジと有限極限の古典的可換性を一般化する。
• σ-コロジの普遍性はpremorphismおよびそのliftを通じて特徴づけられ、2自然性と2セルの貼り合わせが証明の中心的役割を果たす。
• 構成により、任意の正確な2ファンクターのσ-フィルター型σ-コロジが正確であることが保証され、平坦2ファンクター理論において重要な結果となる。
• この結果は、1-圏論におけるフィルター型コロジの役割を2-圏論の文脈へと拡張し、カテゴリー論における古典的正確性性質を2-圏的設定へ一般化する。