[論文レビュー] A construction of Courant algebroids on foliated manifolds

Izu Vaisman|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、葉層構造 $(M,\mathcal{F})$ 上の横断的コウラント・アーベルロイド $ E $ を用いて、固定された分解 $ TM = T\mathcal{F} \oplus Q $ を用いて、直和 $ T\mathcal{F} \oplus T^{*}\mathcal{F} \oplus E $ 上にコウラント・アーベルロイド構造を構成する。この構成は、横断的構造を完全な葉層付きコウラント・アーベルロイドに拡張し、括弧とアーカンクの定義を注意深く行うことで公理を保ちながら、分解に起因する同型を介した系の拡張を通じて、葉層付き設定へのコウラント・アーベルロイドの体系的拡張を実現する。

ABSTRACT

For any transversal-Courant algebroid $E$ on a foliated manifold $(M,\mathcal{F})$, and for any choice of a decomposition $TM=T\mathcal{F}\oplus Q$, we construct a Courant algebroid structure on $T\mathcal{F}\oplus T^*\mathcal{F}\oplus E$.

研究の動機と目的

• 葉層構造 $(M,\mathcal{F})$ 上のコウラント・アーベルロイドの枠組みを、横断的コウラント・アーベルロイドから葉層付きコウラント・アーベルロイドを構成することによって拡張すること。
• 多様体を超えた空間、特に葉層の空間に対してコウラント・アーベルロイドの概念を一般化すること。
• 分解 $ TM = T\mathcal{F} \oplus Q $ の選択を用いて、$ T\mathcal{F} \oplus T^{*}\mathcal{F} \oplus E $ 上にコウラント・アーベルロイドの体系的構成を提供すること。
• 得られた構造が、コウラント・アーベルロイドのすべての公理（ヤコビ恒等式およびアーカンクと計量との整合性を含む）を満たすことを検証すること。

提案手法

• 固定された分解 $ TM = T\mathcal{F} \oplus Q $ を用い、$ T^{*}M = Q^{*} \oplus F^{*} $（ここで $ F = T\mathcal{F} $）の分割を誘導する。
• 標準的なコウラント括弧を $ T^{big}\mathcal{F} = F \oplus (T^{*}M / \text{ann}\,F) $ 上に、$ E $ 上の括弧と組み合わせることで、$ T\mathcal{F} \oplus T^{*}\mathcal{F} \oplus E $ 上にコウラント・アーベルロイド構造を定義する。
• アーカンクは $ T\mathcal{F} $ への射影として定義され、計量は $ T^{big}\mathcal{F} $ 上の自然な双対性および $ E $ 上の計量から誘導される。
• 全バンドル上の括弧は、$ T^{big}\mathcal{F} $ 上のコウラント括弧と $ E $ 上の括弧の組み合わせとして定義され、リーマン微分とLie微分を含む交差項を含む。
• この構成は、同型 $ \Phi = \text{id} \oplus {}^{t}\iota $ を介して $ T^{big}\mathcal{F} $ から $ F \oplus \text{ann}\,Q $ へのコウラント構造の転送に依存し、葉層構造と整合するように保証される。
• 公理は個別に検証され、特にヤコビ恒等式（公理3）に特に注意を払い、$ \partial_E f = \frac{1}{2} \sharp_E e(f) $ およびLie微分のライブニッツ則の事実を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 葉層構造 $(M,\mathcal{F})$ 上の横断的コウラント・アーベルロイドは、どのように完全な葉層付きコウラント・アーベルロイドに拡張できるか？
• RQ2 分解 $ TM = T\mathcal{F} \oplus Q $ の選択が、$ T\mathcal{F} \oplus T^{*}\mathcal{F} \oplus E $ 上に一貫性のあるコウラント・アーベルロイド構造を構成する上で果たす役割は何か？
• RQ3 標準的なコウラント・アーベルロイド公理は、横断的構造 $ E $ と葉層の空間のビッグ接続 bundle $ T^{big}\mathcal{F} $ を組み合わせた場合に保持できるか？
• RQ4 括弧におけるLie微分と微分の項は、拡張された構造におけるヤコビ恒等式を維持するためにどのように作用するか？
• RQ5 得られたコウラント・アーベルロイドは、分割 $ Q $ の選択に依存するか、それとも独立しているか？

主な発見

• 任意の横断的コウラント・アーベルロイド $ E $ および分解 $ TM = T\mathcal{F} \oplus Q $ の選択に対して、$ T\mathcal{F} \oplus T^{*}\mathcal{F} \oplus E $ 上にwell-definedなコウラント・アーベルロイドが得られる。
• 得られたコウラント・アーベルロイドのアーカンクは $ T\mathcal{F} $ への射影であり、計量は $ T^{big}\mathcal{F} $ 上の自然な双対性および $ E $ 上の計量から誘導される。
• 全バンドル上の括弧は、$ T^{big}\mathcal{F} $ 上のコウラント括弧と $ E $ 上の括弧の組み合わせとして定義され、リーマン微分とLie微分を含む交差項を含む。
• 公理3（ヤコビ恒等式）は、関与するセクションの種類に基づく6つのケースに分解し、それぞれのケースで等式が成り立つことを示すことによって検証される。
• $ \partial $-写像の像はアインシュタイン的であり、括弧がそれ自身に制限されると0になるため、混合ケースにおけるヤコビ恒等式の検証が簡略化される。
• 分解 $ TM = T\mathcal{F} \oplus Q $ が固定されていれば、構成は一貫しており、分割 $ Q $ の選択に依存しない。