[論文レビュー] A construction of Hom-Yetter-Drinfeld category

Haiying Li, Tianshui Ma|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2016

Advanced Topics in Algebra参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Radfordの双代数的ホムホップ代数構成を用いて、ホム・ヤエター・ドリンフェルト圏 ${}_{H}^{H}\mathbb{YD}$ を導入し、ホム・ヤン・バクスター方程式の解がホム・ヤエター・ドリンフェルト加群によって得られること、および ${}_{H}^{H}\mathbb{YD}$ が前ブラケット付きテンソル圏をなすことを証明している。主な結果として、$(A^{{\natural}}_{\diamond}H,\alpha\otimes\beta)$ がRadfordの双代数的ホムホップ代数であるための必要十分条件は、$(A,\alpha)$ が ${}_{H}^{H}\mathbb{YD}$ 内のホムホップ代数であることであることが示され、マジッドの古典的結果がホムホップ設定に一般化されている。

ABSTRACT

In continuation of our recent work about smash product Hom-Hopf algebras in \cite{MLY}, we introduce Hom-Yetter-Drinfeld category $_H^H{\mathbb{YD}}$ via Radford biproduct Hom-Hopf algebra, and prove that the Hom-Yetter-Drinfeld modules can provide solutions of the Hom-Yang-Baxter equation and $_H^H{\mathbb{YD}}$ is a pre-braided tensor category, where $(H, \b, S)$ is a Hom-Hopf algebra. Furthermore, we obtain that $(A^{ atural}_{\diamond} H,\aø\b)$ is a Radford biproduct Hom-Hopf algebra if and only if $(A,\a)$ is a Hopf algebra in the category $_H^H{\mathbb{YD}}$. At last, some examples and applications are given.

研究の動機と目的

• ホムホップ代数の設定にわたるヤエター・ドリンフェルト加群の理論を拡張し、ホム・ヤエター・ドリンフェルト圏を構成すること。
• ホム・ヤエター・ドリンフェルト加群がホム・ヤン・バクスター方程式の解を提供するようなカテゴリカルな枠組みを確立すること。
• マジッドのRadfordの双代数的構成をホムホップ代数の状況に一般化し、スモーズ代数とスモーズ余代数がホムホップ代数をなす条件を特定すること。
• ホムホップ代数がホム・ヤエター・ドリンフェルト圏に属する場合と、Radfordの双代数的ホムホップ代数が生じる場合との関係を明確にすること。
• 提案された構成とカテゴリカル枠組みを通じて、ホムホップ代数の新しい例と応用を提供すること。

提案手法

• スモーズ積ホム代数 $(A\natural H,\alpha\otimes\beta)$ の双対構造として、スモーズ余代数ホム余代数 $(A\diamond H,\alpha\otimes\beta)$ を構成する。
• スモーズ積代数とスモーズ余代数の結合構造として、Radfordの双代数的ホムバイアルゲブラ $(A^{\natural}_{\diamond}H,\alpha\otimes\beta)$ を定義する。
• 従来の研究とは異なる新しい定義を用いて、ホム・ヤエター・ドリンフェルト圏 ${}_{H}^{H}\mathbb{YD}$ を導入し、ホム加群およびホム余加群構造とその整合性条件を統合する。
• ホム・ヤン・バクスター方程式から導かれるブラケットを用いて、カテゴリ ${}_{H}^{H}\mathbb{YD}$ が前ブラケット付きテンソル圏であることを証明する。
• 同値関係を確立する：$(A^{\natural}_{\diamond}H,\alpha\otimes\beta)$ がRadfordの双代数的ホムホップ代数であるための必要十分条件は、$(A,\alpha)$ が ${}_{H}^{H}\mathbb{YD}$ 内のホムホップ代数であることである。
• クーラストランスフォーメーション $R$ を用いて、ホム・ヤエター・ドリンフェルト加群からホム・ヤン・バクスター方程式の解を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヤエター・ドリンフェルト加群の構成を、ホムホップ代数の設定に一般化し、ホム・ヤエター・ドリンフェルト加群の圏を構成するにはどうすればよいか？
• RQ2 Radfordの双代数的構成がホム設定においてホムホップ代数を生じるための条件は何か？
• RQ3 ホム・ヤエター・ドリンフェルト加群はホム・ヤン・バクスター方程式の解を提供できるか？ もしそうなら、その解はどのように構成されるか？
• RQ4 ホム・ヤエター・ドリンフェルト圏 ${}_{H}^{H}\mathbb{YD}$ は前ブラケット付きテンソル圏か？ また、ブラケットはこの構造において果たす役割は何か？
• RQ5 ホム・ヤエター・ドリンフェルト圏内のホムホップ代数から生じるRadfordの双代数的ホムホップ代数が成立するための正確なカテゴリカルな特徴づけは何か？

主な発見

• ホム・ヤエター・ドリンフェルト圏 ${}_{H}^{H}\mathbb{YD}$ はRadfordの双代数的ホムホップ代数を用いて構成され、ホムホップ代数のための新しいカテゴリカル枠組みを提供している。
• ホム・ヤエター・ドリンフェルト加群は、ヨウの定義に従ってホム・ヤン・バクスター方程式の解をもたらし、可積分系および量子群との関連を確立している。
• カテゴリ ${}_{H}^{H}\mathbb{YD}$ は前ブラケット付きテンソル圏であり、ブラケットはホム・ヤン・バクスター方程式から導出されている。
• Radfordの双代数的ホムホップ代数 $(A^{\natural}_{\diamond}H,\alpha\otimes\beta)$ がホムホップ代数であるための必要十分条件は、$(A,\alpha)$ が圏 ${}_{H}^{H}\mathbb{YD}$ 内のホムホップ代数であることである。これはマジッドの古典的結果を一般化している。
• ホムホップ代数 $H$ が左余加群ホム余代数であり、かつホム・ヤエター・ドリンフェルト加群である場合、クーラストランスフォーメーション構造が実現され、$R$-行列は余加群構造から導出される。
• コブラケット付きホムホップ代数構造は、$H$ 上に一貫性のあるホム加群代数構造が存在することと同値であり、双線形写像 $\sigma$ を通じて双対性が結びつけられる。