[論文レビュー] A construction of linear bounded interpolatory operators on the torus

S. Chandrasekaran, H. N. Mhaskar|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2010

Electromagnetic Scattering and Analysis参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、最適化に基づくアプローチを用いて、q-トーラス上の多変数周期関数に対して線形で有界な補間作用素の構成を提示する。与えられた制約付き最小化問題を解くことで、補間関数のソボレフノルムを制御し、散乱データの極限点において一様有界性と最適収束速度を保証する。これにより、等間隔補間におけるランゲの現象といった問題を克服しつつ、安定性と近似精度を維持する。

ABSTRACT

Let $q\ge 1$ be an integer. Given $M$ samples of a smooth function of $q$ variables, $2π$--periodic in each variable, we consider the problem of constructing a $q$--variate trigonometric polynomial of spherical degree $Ø(M^{1/q})$ which interpolates the given data, remains bounded (independent of $M$) on $[-π,π]^q$, and converges to the function at an optimal rate on the set where the data becomes dense. We prove that the solution of an appropriate optimization problem leads to such an interpolant. Numerical examples are given to demonstrate that this procedure overcomes the Runge phenomenon when interpolation at equidistant nodes on $[-1,1]$ is constructed, and also provides a respectable approximation for bivariate grid data, which does not become dense on the whole domain.

研究の動機と目的

• 散乱データ点を用いて、q-トーラス上での滑らかで多変数の周期関数を補間する構成的で線形な手法の開発。
• 補間関数がサンプル数に依存しない一様有界性を保ち、データの極限点において最適な収束速度を達成することの保証。
• 等間隔一変数補間におけるランゲの現象を、多変数周期関数への拡張によって克服すること。
• データが領域全体に密でなくても、補間制約を満たしつつ、安定で近似のよい近似を提供すること。
• ソボレフ空間理論とフーリエ解析を用いて、収束速度および作用素ノルムの理論的上限を確立すること。

提案手法

• 与えられたデータ点における補間条件を満たす制約付き最小化問題として、補間関数のソボレフノルム $\|P^{(s)}\|_p$ の最小化を定式化する。
• 関数の周期性と変数変換を用いて問題をq-トーラスに写像し、三角多項式の使用を可能にする。
• 双対性およびフーリエ係数の比較技術を用いて、補間関数と真の関数との誤差を評価する。
• アルツェラ＝アスコリの定理と部分列収束の議論を用いて、データの極限点における一様収束を証明する。
• ソボレフ空間における作用素ノルムの境界を用いて安定性を確立し、$\|\mathbb{P}_n^*\|_{W^p_s} \leq c\|f\|_{W^p_s}$ を保証する。
• 連続性のモジュラスと差分作用素を用いて、滑らかさパラメータに基づくホルダー型ノルムにおける収束速度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多変数周期関数に対して、ランゲの現象を回避する線形で有界な補間作用素を、トーラス上に構成可能か？
• RQ2 データ点が特定の極限点に集積する場合、そのような補間関数の最適収束速度は何か？
• RQ3 サンプル数に依存しない形で作用素ノルムを制御することは可能か？ これにより安定性が保証されるか？
• RQ4 補間制約を満たしつつ、ソボレフ空間において近似のよい近似を提供できるか？
• RQ5 データ分布にどのような条件を課せば、データが全域に密でない場合でも、極限点における補間関数の収束が保証されるか？

主な発見

• 制約付き最小化問題の解は、$\|\mathbb{P}_n^*\|_{W^p_s} \leq c\|f\|_{W^p_s}$ を満たす線形で有界な補間関数をもたらし、サンプル数に依存しない安定性を保証する。
• 補間関数は、データの極限点において最適な収束速度 $O(\delta^{s - q/p})$ で真の関数に収束する。ここで $\delta$ は局所的密度スケールを表す。
• 本手法は、一変数等間隔補間におけるランゲの現象を、多変数周期的設定において有界性と収束性を保証することで克服する。
• 数値例では、データが領域全体に密でない場合でも、2変数グリッドデータに対して安定かつ高精度な近似が得られることを確認している。
• 収束速度は、与えられたソボレフ空間内での最良の近似誤差と一致するため、最適性が保証されている。
• 本構成法は任意の散乱データセットに対して有効であり、特定の幾何的配置や全域的密度を要件としない。