[論文レビュー] A construction of local Lie groupoids using Lie algebroid sprays

Alejandro Cabrera|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Lie代数準束のスプレイトを用いて、任意の与えられたLie代数準束を統合する直接的で接続に基づく局所Lie群ガロア（スプレイト群ガロアと呼ばれる）の構成を提示する。この方法により、無限小乗法的対象の明示的公式が得られ、シンプレクティック、プレシンプレクティック、または接触群ガロアに対応するポincare、ディラック、ヤコビ構造などの幾何的構造の明示的統合が可能になる。

ABSTRACT

We give a direct, explicit and self-contained construction of a local Lie groupoid integrating a given Lie algebroid which only depends on the choice of a connection. We also give a complete account of local Lie theory based on these explicit constructions. On the resulting local Lie groupoid, called a spray groupoid, we obtain formulas for integrating infinitesimal multiplicative objects. These general results produce concrete integrations of several geometrical structures: (Nijenhuis-)Poisson, Dirac, Jacobi structures by local symplectic (Nijenhuis), presymplectic, contact groupoids, respectively. Joint work with A. Cabrera and I. Marcut.

研究の動機と目的

• 与えられたLie代数準束を統合する局所Lie群ガロアの自己完結的で明示的な構成を提供すること。
• 補助的または間接的な統合手法に依存しないように、接続の選択にのみ依存する方法を確立すること。
• 明示的な幾何的構成を通じて局所Lie理論の基盤を構築すること。
• 得られた群ガロア上で無限小乗法的対象を統合する明示的公式を導出すること。
• この枠組みを、ポincare、ディラック、ヤコビ構造といった特定の幾何的構造を、それに対応する局所シンプレクティック、プレシンプレクティック、接触群ガロアに統合するために応用すること。

提案手法

• Lie代数準束のスプレイトを、局所群ガロア構造を構成する中心的な幾何的道具として用いる。
• 選択された接続に関連するスプレイトベクトル場の積分曲線を用いて、局所群ガロアを構築する。
• Lie代数準束上の接続を用いて、標準的なスプレイトを定義し、構成を補助的選択に依存せずに明示的かつ一意に保証する。
• 得られた群ガロア構造を用いて、無限小乗法的テンソルおよび幾何的対象を統合する。
• スプレイトの斉次性および曲率性質を活用して、明示的統合公式を導出する。
• 既知の幾何的構造にこの枠組みを適用し、スプレイト群ガロアが自然にシンプレクティック、プレシンプレクティック、または接触群ガロア構造を誘導することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接続のみに依存して、Lie代数準束から局所Lie群ガロアを明示的に構成する方法は何か？
• RQ2 Lie代数準束のスプレイトが、無限小乗法的対象の直接的統合を可能にする役割は何か？
• RQ3 得られるスプレイト群ガロアが、ポincareやヤコビ構造といった特定の幾何的構造をどのように統合するか？
• RQ4 この構成を自己完結的かつ抽象的または間接的統合技法に依存しない形にできるか？
• RQ5 得られる局所群ガロア上で乗法的テンソルを統合する明示的公式は何か？

主な発見

• Lie代数準束のスプレイトを用いて、任意のLie代数準束を統合する直接的で明示的かつ自己完結的な局所Lie群ガロアの構成が達成された。
• この構成は、接続の選択にのみ依存するため、自然で計算的に容易にアクセス可能である。
• スプレイト群ガロアと呼ばれる得られた群ガロアは、無限小乗法的対象を統合する明示的公式を支持する。
• この枠組みにより、ニエンフイス・ポincare、ディラック、ヤコビ構造がそれぞれ局所シンプレクティック、プレシンプレクティック、接触群ガロアを通じて明示的に統合可能である。
• この方法により、これらの明示的構成に基づく完全な局所Lie理論が確立され、さまざまな幾何的統合問題が統一される。
• スプレイト群ガロアの構成は乗法的構造へ自然に拡張可能であり、ポincare幾何およびヤコビ幾何における幾何的対象の統合に体系的なアプローチを提供する。