[論文レビュー] A Construction of Subshifts and a Class of Semigroups

Toshihiro Hamachi, Wolfgang Krieger|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2013

Cellular Automata and Applications参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、有向グラフから性質(A)を有する準周期的シフトを構成し、マルコフ＝ダイクシフトがこの性質を満たすことを示している。R-グラフシフトに付随するモノイドが、グラフ構造によって完全に決定されることを確立し、その関連する準周期的シフトからR-グラフが位相的同相性の意味で再構成可能であることを証明している。

ABSTRACT

Subshifts with property $(A)$ are constructed from a class of directed graphs. As special cases the Markov-Dyck shifts are shown to have property $(A)$. The semigroups, that are associated to $\mathcal R$-graph shifts with Property (A), are determined. Also results on the reconstruction of $\mathcal R$-graphs from their $\mathcal R$-graph shifts are obtained.

研究の動機と目的

• 有向グラフのクラスを用いて性質(A)を有する準周期的シフトを構成し、Dyckシフトなどの既知の例を拡張すること。
• 性質(A)を有するR-グラフシフトに付随するモノイドを特徴づけ、それがグラフ構造によって完全に決定されることを示すこと。
• R-グラフがその関連する準周期的シフトから位相的同相性の意味で再構成可能となる条件を確立すること、特に準周期的シフトの力学的性質から導かれる不変量を用いて。
• R-グラフの構造的不変量（例えば、辺の個数や関係）が位相的同相性の下で保存されることを示すこと。
• 準周期的シフトのエントロピーとパス数から導かれる代数的不変量を通じて、R-グラフ再構成プロセスの位相的同相性不変性を示す基準を提供すること。

提案手法

• エッジ集合が前向き（E⁺）と後向き（E⁻）に分割された分割された有向グラフを用い、E⁻とE⁺のエッジを関係Rでペアリングする。
• R-グラフモノイドを生成子と関係式により定義：(e⁻,e⁺) ∈ R ならば e⁻e⁺ = 1、さもなければ e⁻e⁺ = 0。各頂点pに対して単位元1ₚを導入する。
• 先行研究で導入された性質(A)の概念を適用し、これが位相的同相性の下で特定の代数的および力学的不変量を保存することを保証する。
• パスに基づく不変量αₗ, βₗ, Δₗを、パスの数およびその積から導出し、二次方程式を用いて辺の個数を分離する。
• 条件(Dal)および(Dbl)を用いて、E⁻(pₗ₋₁,pₗ)およびE⁺(pₗ₋₁,pₗ)の個数が準周期的シフトの不変量によって一意に決定されるかを判定する。
• 条件(Dal)および(Dbl)が成り立つものと仮定すると、準周期的シフトのエントロピーとパス数の不変量によって、card(E⁻(pₗ₋₁,pₗ))およびcard(E⁺(pₗ₋₁,pₗ))の値が一意に決定されることを示し、R-グラフ構造を再構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有向グラフから性質(A)を有する準周期的シフトを体系的に構成可能であり、マルコフ＝ダイクシフトはこのクラスに属するか？
• RQ2 性質(A)を有するR-グラフシフトに付随するモノイドは、グラフ構造およびR関係によって完全に決定されるか？
• RQ3 どのような条件下で、R-グラフがその関連する準周期的シフトから位相的同相性の意味で再構成可能となるか？
• RQ4 R-グラフ準周期的シフトにおいて、パス数および辺の個数から導かれる代数的不変量のうち、位相的同相性の下で保存されるものは何か？
• RQ5 再構成条件(Dal)および(Dbl)の有効性は、準周期的シフトの位相的同相性に対して不変か？

主な発見

• マルコフ＝ダイクシフトが性質(A)を有することを示し、この不変性を持つ既知の準周期的シフトのクラスを拡張した。
• 性質(A)を有するR-グラフシフトに付随するモノイドは、グラフ構造およびR関係によって完全に決定され、すべての定義関係がエッジおよび頂点のデータから導かれる。
• 条件(Dal)および(Dbl)が成り立つ限り、E⁻(pₗ₋₁,pₗ)およびE⁺(pₗ₋₁,pₗ)の個数は、準周期的シフトの不変量αₗ, βₗ, Δₗによって一意に決定される。
• 条件(Dal)および(Dbl)の有効性は位相的同相性に対して不変であり、再構成プロセスが同相性同値に対して安定であることを保証する。
• R-グラフ構造（辺の数およびR関係）は、準周期的シフトのパス数およびエントロピー不変量から再構成可能であり、条件(Dal)および(Dbl)が満たされていると仮定すれば成立する。
• 再構成プロセスは完全に有効である：αₗ, βₗ, Δₗが既知であれば、二次方程式および可除性条件を用いて、辺の個数およびR関係が一意に決定される。