[論文レビュー] A constructive approach to affine and projective planes

Achilleas Kryftis|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2016

Manufacturing Process and Optimization参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、体の代わりに局所環を用いたアフィン平面および射影平面の構成的アプローチを開発し、局所環上でのデルガルグおよびパップスの定理を確立する。局所環はアフィン平面からトレースを保存する準同型を介して構成され、アフィン平面および射影平面の分類トポスは、群作用によるザリスキトポスの拡張として特徴づけられ、幾何学的およびトポス理論的双対性が明らかになる。

ABSTRACT

In classical geometric algebra, there have been several treatments of affine and projective planes based on fields. In this thesis we approach affine and projective planes from a constructive point of view and we base our geometry on local rings instead of fields. We start by constructing projective and affine planes over local rings and establishing forms of Desargues' Theorem and Pappus' Theorem which hold for these. From this analysis we derive coherent theories of projective and affine planes. The great Greek mathematicians of the classical period used geometry as the basis for their theory of quantities. The modern version of this idea is the reconstruction of algebra from geometry. We show how we can construct a local ring whenever we are given an affine or a projective plane. This enables us to describe the classifying toposes of our theories of affine and projective planes as extensions of the Zariski topos by certain group actions. Through these descriptions of the classifying toposes, the links between the theories of local rings, affine and projective planes become clear. In particular, the geometric morphisms between these classifying toposes are all induced by group homomorphisms even though they demonstrate complicated constructions in geometry. In this thesis, we also prove results in topos theory which are applied to these geometric morphisms to give Morita equivalences between some further theories.

研究の動機と目的

• 体の代わりに局所環に基づく、アフィン平面および射影平面の構成的幾何フレームワークを構築すること。
• 局所環上でも成り立つデルガルグおよびパップスの定理のバージョンを確立し、構成的設定における幾何的整合性を保証すること。
• 拡大、平行移動、トレースを保存する準同型を用いて、アフィン平面から局所環を再構成すること。
• アフィン平面および射影平面理論の分類トポスを、群作用によるザリスキトポスの拡張として記述し、構造的双対性を明らかにすること。
• 幾何的準同型が、幾何が複雑であっても群準同型から生じることを示すこと。

提案手法

• インシデント構造および双対性原理を用いて、局所環上の射影平面およびアフィン平面を構成する。
• 前射影平面および前アフィン平面間の準同型を定義し、それらが環上の準同型に引き上げられるための条件を確立する。
• 拡大および平行移動を、トレースを保存する自己準同型を介して局所環構造を定義する幾何的道具として導入する。
• ザリスキトポスにおける一般の局所環を用いて座標系を構成し、それらを $H$- torsor および群作用に関連付ける。
• ディアコネスクの定理および $χ[G]$ トポスの構成を含むトポス理論的道具を用いて、分類トポスを分析する。
• 群作用および torsor を用いて、$χ$, $×𝔸𝔹$, および $×𝔸𝔺$ 間の幾何的準同型を確立し、恒等射を含む同型を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デルガルグおよびパップスの定理は、体の代わりに局所環上で構成的に定式化され、証明可能か？
• RQ2 インシデントおよび対称性のデータのみを用いて、アフィン平面の幾何的構造から局所環を再構成する方法は何か？
• RQ3 アフィン平面の分類トポスと、群作用による拡張されたザリスキトポスとの関係は何か？
• RQ4 双対性にもかかわらず、一般の射影平面における点の対象と直線の対象が同型でないのはなぜか？
• RQ5 アフィン平面および射影平面の分類トポス間の幾何的準同型は、どのように群準同型から生じるのか？

主な発見

• デルガルグおよびパップスの定理は、局所環上の射影平面およびアフィン平面で成り立ち、体の仮定を必要としない構成的証明が可能である。
• アフィン平面の局所環は、その平行移動群のトレースを保存する準同型のなす環として構成され、代数の幾何的再構成が可能になる。
• アフィン平面の分類トポスは、一般の局所環の自己同型群 $G$ を用いて $χ[G]$ と同値であり、これは $G$-torsor のトポスのスライスである。
• 射影平面の分類トポスは $χ[H]$ であり、$H$ は射影変換の群である。このトポスは、ザリスキトポス上の $H$-torsor を用いて構成される。
• 一般の射影平面において、点の対象から直線の対象への準同型は存在せず、それらは同型でない。これは、特定のモデルにおいてグローバルセクションの存在に差があるためである。
• $χ[G]$, $×𝔸$, および $×𝔹$ 間の幾何的準同型 $f_{×𝔸}$ および $f_{×𝔹}$ は互いに逆の同型をなし、$×𝔸$ と $×𝔹$ がトポス拡張によってモリタ同値であることを示している。