[論文レビュー] A contamination model for approximate stochastic order: extended version

Pedro C. Álvarez-Esteban, Eustasio del Barrio+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2014

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 35被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、片方の分布がもう片方の分布からの微小な混入データである場合の近似確率的順序を評価するための混入モデルを提案する。分布を微小な混入率 𝜋 における混合分布としてモデル化することで、正確な確率的順序からの逸脱を定量化し、最小混入率に関する漸近的推論を提供する。これは、きつい確率的優位性の検定に対する柔軟な代替手法を提供する。

ABSTRACT

Stochastic ordering among distributions has been considered in a variety of scenarios. Economic studies often involve research about the ordering of investment strategies or social welfare. However, as noted in the literature, stochastic orderings are often a too strong assumption which is not supported by the data even in cases in which the researcher tends to believe that a certain variable is somehow smaller than other. Instead of considering this rigid model of stochastic order we propose to look at a more flexible version in which two distributions are said to satisfy an approximate stochastic order relation if they are slightly contaminated versions of distributions which do satisfy the stochastic ordering. The minimal level of contamination that makes this approximate model hold can be used as a measure of the deviation of the original distributions from the exact stochastic order model. Our approach is based on the use of trimmings of probability measures. We discuss the connection between them and the approximate stochastic order model and provide theoretical support for its use in data analysis. We also provide simulation results.

研究の動機と目的

• 正確な確率的順序のきつさが、直感的な確率的優位性の期待があるにもかかわらず、実際にはしばしば成立しないことに対処する。
• 微小な確率的順序からの逸脱を許容する柔軟な統計的モデルを構築する。
• 2つの分布が確率的順序を満たすために必要な最小混入率 𝜋 を定量化し、正確なモデルからの逸脱の尺度とする。
• 有限標本におけるこの最小混入率の推定と検定のための漸近的理論と推論ツールを提供する。
• 正確な順序が現実的でないが、近似順序が妥当であるような状況において、従来の確率的優位性検定の実用的代替手段を提供する。

提案手法

• 分布 F を F = (1−𝜋)F̃ + 𝜋H としてモデル化する混入モデルを提案し、F̃ ≤st G となるようにし、F が H からの微小な混入であることを許容する。
• 確率測度のトリミングを用いて、極端または異常な観測値を除去または調整することで確率的順序を達成する考えを形式化する。
• 最小混入率 𝜋(F,G) を、混入モデルが成立する最小の 𝜋 として定義し、正確な確率的順序からの逸脱の尺度とする。
• 最小混入率の推定量 𝜋̂n,n の漸近的分布理論を構築し、ブラウン運動ブリッジの関数への収束を示す。
• 𝜋(F,G) の推論のためのパラメトリックな漸近的分布を導出し、臨界値 K1−𝛼(𝜋0, 1/2) を用いた信頼区間と仮説検定を可能にする。
• 経験過程理論とオシレーショングラウンド（例：スチュートの結果）を用いて、混入推定量の漸近的分析における誤差項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの分布が正確な確率的順序からどの程度逸脱しているかを統計的に意味のある方法で測るにはどうすればよいか？
• RQ2 2つの非確率的順序となる分布を、確率的順序を満たすように変換するために必要な最小混入率は何か？
• RQ3 近似確率的順序モデル下で、最小混入率の有効な漸近的信頼区間を構築できるか？
• RQ4 帰無仮説としての確率的優位性下で、混入推定量の漸近的分布はどのように振る舞うか？
• RQ5 有限標本における混入に基づく推論手順の性質は何か？ また、標準的な確率的優位性検定と比較してどうなるか？

主な発見

• 最小混入率 𝜋(F,G) は、正確な確率的順序からの逸脱の定量的尺度を提供し、値が小さいほど順序モデルとの整合性が高くなることを示す。
• 最小混入率の推定量 𝜋̂n,n は漸近的に正規分布に従い、√(n/2)(𝜋̂n,n − 𝜋0) はブラウン運動ブリッジの関数に分布収束する。
• 推定量の漸近的分布はピロティカルであり、真の混入率 𝜋0 と一様有界値 1/2 のみに依存するため、臨界値の計算が可能になる。
• 弱い正則性条件のもとでも、混入率に関する仮説検定と信頼区間の漸近的妥当性が保証される。
• シミュレーション結果と事例研究により、正確な順序が成立しないが近似順序が成立する状況で、本手法の実用的有効性が示された。
• 理論的分析により、推定量の一致性と、パrameter空間における制限分布の連続性が確認され、頑健な推論を支持する。