[論文レビュー] A Continuation Method for Large-Scale Modeling and Control: from ODEs to PDE, a Round Trip

Denis Nikitin, Carlos Canudas de Wit+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2021

Slime Mold and Myxomycetes Research参考文献 46被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、空間的に分散した ODE を PDE に変換する連続化法を提案し、解析と制御を可能にする。非線形拡張とヒルベルトの第6問題や多エージェント制御を含む複数の適用がある。

ABSTRACT

In this paper we present a continuation method which transforms spatially distributed ODE systems into continuous PDE. We show that this continuation can be performed both for linear and nonlinear systems, including multidimensional, space- and time-varying systems. When applied to a large-scale network, the continuation provides a PDE describing evolution of continuous state approximation that respects the spatial structure of the original ODE. Our method is illustrated by multiple examples including transport equations, Kuramoto equations and heat diffusion equations. As a main example, we perform the continuation of a Newtonian system of interacting particles and obtain the Euler equations for compressible fluids, thereby providing an original alternative solution to Hilbert's 6th problem. Finally, we leverage our derivation of the Euler equations to control multiagent systems, designing a nonlinear control algorithm for robot formation based on its continuous approximation.

研究の動機と目的

• 大規模な空間分布 ODE を空間構造を保ったままコンパクトな PDE 表現へ置換する必要性を動機づける。
• 線形、非線形、空間・時間変動系に対して離散化を反転させて ODE から PDE を得る一般的な連続化フレームワークを開発する。
• PDE の近似が元の ODE のスペクトルとどのように結びつくかに関する有効性と収束性の結果を確立する。
• 粒子系からオイラー方程式へ至る古典的および新規な例、形成制御を含むロボットへの適用をデモンストレーションする。

提案手法

• 1D グリッド上の線形空間的不変 ODE に対して有限差分離散化を PDE 表現に置き換える連続化手順を定義する。
• Taylor 展開と行列ベースの形式を用いて ODE の項を選択した次数 d までの PDE 微分に写像する（d+1 が PDE の微分次数を表す）。
• 有効な連続化の条件を導出する（Theorem 1: d+1 ≥ N）。これにより PDE の離散化が元の ODE を回復することを保証する。
• スペクトル収束を分析する（Theorem 2）。PDE のスペクトルが d → ∞ に伴い ODE のスペクトルへ収束することを示し、非一様収束および安定性の留意点を記す。
• 非線形系へ拡張するために計算グラフを用い、類似のサブグラフを導入して再帰的連続化を行い非線形 PDE を得る。
• 多次元・空間依存・境界に影響を受ける系へ方法を拡張し、粒子ダイナミクスからオイラー様 PDE を導出する方法と PDE に基づく制御を多エージェントの形成へ適用する方法を概説する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元の線形空間分布 ODE を、元の空間構造を保持したまま PDE に忠実に変換するにはどうすればよいか？
• RQ2 特にスペクトル的観点で、ODE から PDE への連続化を実施する際の精度と収束性の保証はどのようなものになるか？
• RQ3 非線形・空間・時間変動・境界を含む多次元系へ連続化フレームワークを拡張するにはどうすればよいか？
• RQ4 導出される PDE 表現は大規模な多エージェント系の制御設計にどのように情報を提供できるか、そして連続的な制御を元のエージェントへ離散化して戻せるか？
• RQ5 具体的なデモ（輸送、 Kuramoto 型相互作用、熱拡散、粒子系からのオイラー方程式など）を通じて連続化アプローチを検証するには？

主な発見

• 連続化によって得られる PDE は収束的に元の ODE へスペクトル収束する（Theorem 2）。
• 有効な連続化には PDE の微分次数が d+1 ≥ N を満たす必要があり、離散化が元の ODE を回復する（Theorem 1）。
• 框組は粒子ダイナミクスから古典的 PDE を再現でき、ニュートン型相互作用粒子モデルから圧縮性流体の Euler 方程式を導出できる。
• 非線形動力学は計算グラフ表現を用いて扱うことができ、非線形 PDE への連続化を可能にする。
• この手法は PDE 表現を導出し、設計した連続的制御を元のエージェントへ離散化して戻すことで制御設計への道を提供する（図1 にフレームワークを示す）。
• 実例として輸送、 Kuramoto 型相互作用、熱拡散、粒子系からの Newtonian→Euler の導出と形成制御などが挙げられる。