[論文レビュー] A continuous mapping theorem for the smallest argmax functional

Emilio Seijo, Bodhisattva Sen|arXiv (Cornell University)|May 6, 2011

Statistical Methods and Inference参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、目的関数が複数の最大値をもつ極限過程に収束するM推定量の文脈において、最小argmax機能的に対する連続写像定理を確立する。本稿ではd次元のスコロホド空間におけるsargmax機能的を導入し、目的関数とその関連する純ジャンプ過程の同時収束のもとで最小最大化者のもつ弱収束を証明し、変化点モデルの従来の漸近的解析におけるギャップを解消する。

ABSTRACT

This paper introduces a version of the argmax continuous mapping theorem that applies to M-estimation problems in which the objective functions converge to a limiting process with multiple maximizers. The concept of the smallest maximizer of a function in the d-dimensional Skorohod space is introduced and its main properties are studied. The resulting continuous mapping theorem is applied to three problems arising in change-point regression analysis. Some of the results proved in connection to the d-dimensional Skorohod space are also of independent interest.

研究の動機と目的

• 目的関数が複数の最大値をもつ過程に収束する場合に、標準的なargmax連続写像定理が成立しないという制限に対処すること。
• ジャンプをもつ関数に対して、d次元のスコロホド空間における最小最大化者（sargmax）の概念を形式化すること。
• 目的関数とその関連する純ジャンプ過程の両方の弱収束を要件とする、新たな連続写像定理を確立すること。
• 特に、純ジャンプ過程の収束の必要性を無視した従来の変化点推定量の漸近的解析における欠落を是正すること。
• しきい値に基づく構造的変化を伴う変化点回帰および生存モデルにおける漸近的分布を導出するための厳密な基礎を提供すること。

提案手法

• 有限の四分岐極限と右連続性をもつ関数のd次元スコロホド空間$\mathcal{D}_K$を導入し、ジャンプをもつ過程に適した空間とする。
• 関数$\mathcal{D}_K$におけるsargmax機能的を、区間的最大値が生じる場合でも一意性を保証する最小最大化者として定義する。
• $\mathcal{D}_K \times \mathcal{D}_{B_1}$における目的過程とその関連する純ジャンプ過程の同時弱収束のもとで連続写像定理を証明する。
• 3つの変化点モデルに定理を適用する：確率的設計回帰、コックス回帰における時刻ベースの変化点、コックス回帰におけるしきい値ベースの変化点。
• 純ジャンプ過程の収束を用いることで、argmax極限の妥当性を保証し、文献における従来の欠落を是正する。
• スコロホド空間における弱収束の議論を用い、極限の目的関数として二方向の複合ポアソン過程の構造に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極限の目的過程が複数の最大値をもつ場合に、最小argmaxに対して連続写像定理を確立できるか？
• RQ2 目的関数の収束に加えて、最小最大化者の弱収束を保証するために必要な追加の収束条件は何か？
• RQ3 非一意な最大値をもつM推定量問題において、関連する純ジャンプ過程の収束がなぜ本質的か？
• RQ4 極限過程が二方向の複合ポアソン過程である場合、変化点推定量の漸近的分布をどのように厳密に導出できるか？
• RQ5 変化点回帰および生存分析における従来の証明は、純ジャンプ過程の収束の必要性をどの程度無視していたか？

主な発見

• 最小argmax機能的はd次元のスコロホド空間$\mathcal{D}_K$上で適切に定義され、可測であり、非正則モデルにおける一貫した推定を可能にする。
• 連続写像定理は、目的過程とその関連する純ジャンプ過程の両方の弱収束を要件とし、目的関数の収束のみでは不十分である。
• 回帰における最小二乗変化点推定量の漸近的分布は、二方向の複合ポアソン過程の最小最大化者に弱収束する。
• 時刻ベースの変化点をもつコックス回帰では、推定量$n(\hat{\zeta}_n - \zeta_0)$は弱収束して、極限の複合ポアソン過程の最小最大化者に収束する。
• 生存モデルにおけるしきい値ベースの変化点では、同様の漸近的結果が成り立ち、本稿ではポンズ（2003）の定理5の証明を、欠落していた純ジャンプ過程の収束の正当化によって完成させる。
• コソロクとソン（2007年）およびポンズ（2002年、2003年）の研究において、漸近的議論において純ジャンプ過程の収束の必要性が無視されていた点を是正した。