[論文レビュー] A continuous, piecewise affine surface map with no measure of maximal entropy

Jérôme Buzzi|ArXiv.org|Feb 16, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、単位正方形上に、トポロジカルエントロピー log 2 を持つ連続的で、区分的アフィンな表面写像を構成する。この写像では、いかなる不変確率測度に対してもそのエントロピーが達成されないことが示され、従って、ホメオモルフィズムに対しては知られている結果とは対照的に、最大エントロピー測度を持たない連続的で区分的アフィン写像の存在が証明される。構成は固定点付近の不安定な力学と、記号的拡張を用いて、座標の無限大への成長による制約により、エントロピーを最大化する測度が存在しえないことを示している。

ABSTRACT

It is known that piecewise affine surface homeomorphisms always have measures of maximal entropy. This is easily seen to fail in the discontinuous case. Here we describe a piecewise affine, globally continuous surface map with no measure of maximal entropy.

研究の動機と目的

• 連続的で区分的アフィンな表面写像が常に最大エントロピー測度を有するかどうかという未解決の問題を解消すること。
• トポロジカルエントロピーが有限であるが、いかなる不変確率測度に対しても達成されない反例を構成すること。
• ホメオモルフィズムや滑らかな写像とは異なり、区分的アフィン力学におけるエントロピー最大化の理解を拡張すること。
• グローバルな連続性とアフィン構造が保たれる状況でも、エントロピーの変分原理が失敗しうることを示すこと。
• 力学的複雑性と座標の成長が、最大エントロピー測度の存在を妨げる要因として果たす役割を調査すること。

提案手法

• 単位正方形 [0,1]^2 の部分集合 Q である平行四辺形上に、N と S に固定点をもつ区分的アフィン写像 T を定義し、Q を 26 個の三角形に分割し、各領域で T がアフィンとなるようにする。
• 臨界領域 ABS と CDS において、垂直コーン場 Cs が T の逆写像によって不変であることを確立し、安定した力学を保証する。
• 各反復写像が ABS に属するか (0) CDS に属するか (1) を追跡する記号的拡張 γ: K₀ → Σ（2-シフト）を定義し、Bowen の結果により、エントロピーが保存されることを示す。
• エントロピーが log 2 に近づく有限拡張 F_M のネストされた族を、S の近傍の力学に埋め込む。
• 任意の仮説的な最大エントロピー測度 μ に対して、軌道に沿って y 座標が無限大に発散する必要があることを証明し、確率測度の存在と矛盾することを示す。
• y_{k+1} ≥ 2^{sign(x_k)} y_k であることに着目し、エントロピーを最大化する測度では ∑ sign(x_k) が発散する必要があることを示し、これは有限不変測度のもとでは不可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポロジカルエントロピーが有限であっても、連続的で区分的アフィンな表面写像が最大エントロピー測度を持たないことはあり得るか？
• RQ2 このような写像において、トポロジカルエントロピーに達する測度が存在しないのを妨げる動的特徴は何か？
• RQ3 アフィン構造、連続性、座標の成長の間の相互作用が、エントロピー最大化にどのように影響するか？
• RQ4 このクラスにおけるエントロピー最大化の失敗は、C^∞ 写像や区分的単調な区間写像についての既知の結果と、どの程度対照的であるか？
• RQ5 無限大に発散する座標の成長といった構造的障害が、区分的アフィン系における最大エントロピー測度の存在を妨えることがあるか？

主な発見

• [0,1]^2 上に定義された写像 T は、トポロジカルエントロピー h_top(T) = log 2 を持つ。
• この有限エントロピーにもかかわらず、いかなる不変確率測度 μ に対しても h(T, μ) = log 2 を満たさないため、最大エントロピー測度は存在しない。
• 最大エントロピー測度の不在は、そのような測度が y 座標の無限大への発散を示す軌道に正の質量を割り当てなければならないという要請に起因する。
• 記号的拡張 γ: K₀ → Σ により、K₀ 上の不変測度のエントロピーは log 2 で上限づけられ、等号成立にはシフト空間上の (1/2,1/2)-ベルヌーイ測度が必要となる。
• しかしながら、このような測度はほとんどすべての軌道で ∑ sign(x_k) が発散することを意味し、これは y_n → ∞ を引き起こし、確率測度の有限性と矛盾する。
• この結果は、立方体上での恒等写像との直積を用いることで、任意の次元 d ≥ 2 に拡張可能であり、高次元でも同様の反例が得られる。