[論文レビュー] A continuous-state nonlinear branching process

Pei-Sen Li|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、連続状態の非線形分岐過程を、確率積分方程式の唯一の解として構成し、明示的な絶滅確率および爆発確率とその時間—線形の場合ですら新規な結果—を導出する。有限時間での絶滅または爆発のための必要十分条件を確立し、離散状態過程のスケーリング極限としてこの過程が生じることを示す。

ABSTRACT

A continuous-state nonlinear branching process is constructed as the pathwise unique solution of a stochastic integral equation. The extinction and explosion probabilities and the mean extinction and explosion times are computed explicitly, which are also new in the linear branching case. We present necessary and sufficient conditions for the process to extinguish or explode in finite times. In the critical or subcritical case, we give a construction of the process coming down from infinity. Finally, it is shown that the continuous-state nonlinear branching process arises naturally as the rescaled limit of a sequence of discrete-state processes.

研究の動機と目的

• 確率積分方程式のパスワイズ一意解として連続状態の非線形分岐過程を構成すること。
• 線形の場合に既知の結果を拡張し、非線形の場合の絶滅および爆発の確率とその期待時間を明示的に計算すること。
• 過程が有限時間内に絶滅または爆発するための必要十分条件を確立すること。
• 臨界または亜臨界の場合に、無限大から降下する過程の構成を提供すること。
• 連続状態過程が、スケーリングされた離散状態分岐過程の極限として生じることを示すこと。

提案手法

• ブラウン運動およびポアソン確率測度によって駆動される確率積分方程式の唯一の解として過程を形式化すること。
• マルティンググール技法およびスケール関数を用いて、絶滅および爆発確率の明示的表現を導出すること。
• モーメント生成関数およびラプラス変換を用いて、絶滅および爆発時間の平均を計算すること。
• ドリフトおよび分岐機構の分析を通じて、有限時間での絶滅または爆発の条件を導出すること。
• 臨界および亜臨界の場合に、時間変換された変則過程（Bessel過程）を用いて、無限大から降下する過程を構成すること。
• 関数極限定理を用いて、スケーリングされた離散状態分岐過程の弱収束を証明し、連続状態過程への収束を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続状態の非線形分岐過程が有限時間内に絶滅または爆発する正確な条件は何か？
• RQ2 非線形の場合に、絶滅および爆発確率とその期待時間は、分岐機構にどのように依存するか？
• RQ3 臨界または亜臨界の場合に、無限大から降下するように過程を構成できるか、その方法は何か？
• RQ4 連続状態過程が離散状態過程のスケーリング極限としてどのように生じるか？
• RQ5 絶滅および爆発確率の明示的公式は、線形分岐の場合ですら新規なものか？

主な発見

• 絶滅および爆発確率が明示的に計算され、線形分岐過程の場合ですら新規な結果である。
• 絶滅および爆発時間の平均が閉形式で導出され、過程のダイナミクスに対する定量的洞察を提供する。
• 分岐機構の構造を通じて、有限時間での絶滅または爆発のための必要十分条件が確立された。
• 臨界または亜臨界の場合に、無限大から降下する過程のパスワイズな構成が提供され、古典的結果が拡張された。
• 連続状態の非線形分岐過程が、スケーリングされた離散状態分岐過程の弱極限であることが示され、その普遍的スケーリング極限としての役割が確認された。
• 過程が確率積分方程式の解として一意に特徴づけられ、パスワイズの一意性および強マルコフ性が保証された。