[論文レビュー] A continuum of incomplete intermediate logics

Tadeusz Litak|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2018

Logic, Reasoning, and Knowledge被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ファインとジャンコフのフレームにインspiredされたフレームの列を用いて、シェトマンの手法を一般化することで、Kripke-不完全な中間論理の連続体を構成する。自然数の異なる部分集合が、特徴的なジャンコフ論理式を通じて、互いに異なる不完全な中間論理を生成することを証明し、中間論理の完全性に関する長年の文献的空白を解消する。

ABSTRACT

This paper generalizes the 1977 paper of V.B. Shehtman, which constructed the first Kripke incomplete intermediate logic, by presenting a continuum of such logics. This version fixes an error in my simplified proof of incompleteness of Shehtman's original logic.

研究の動機と目的

• 中間論理の完全性に関する長年の文献的空白を埋めるために、Kripke-不完全な中間命題論理の連続体の存在を証明すること。
• シェトマンの1977年の単一の不完全な中間論理の構成を、完全な連続体へと拡張すること。
• 自然数の異なる部分集合が、すべて不完全であるが互いに異なる中間論理を生成することを示すこと。
• フレームによって定義される論理において、特定の推論規則の非許容性が不完全性の原因であることを示すこと。
• 中間論理における関係的意味論の限界を、モダール論理と比較して明確にすること。特に、重要な結果のスーパーヒューリスティック的類似物が存在しないことの強調。

提案手法

• n ∈ ω に対して、ファインとジャンコフが用いたのと同様の、複雑性を段階的に増加させるKripkeフレーム $\mathcal{F}_n$ の列を構成する。
• 自然数の部分集合に基づく論理を定義するために、特徴的なジャンコフ論理式 $\beta^\#(\mathcal{F}_m, \bot)$ を用い、論理の相違を保証する。
• p-モルフィズムによる還元不能性の議論を採用：n ≠ m のとき、$\mathcal{F}_n$ の生成部分フレームから $\mathcal{F}_m$ へのp-モルフィズムは存在せず、またファインフレームから任意の $\mathcal{F}_n$ に対しても存在しない。
• シェトマンの定理（論理 $L$ が不完全であることと、そのモダール同伴 $\tau L$ が不完全であることとは同値）を応用する。
• すべてのフレーム $\mathcal{F_n}$ がシェトマンの公理 $\delta$, $\kappa$, および $bb_2$ を満たすことを確認し、論理のwell-defined性を保証する。
• ファインフレームは $\delta$, $\kappa$, $bb_2$ を満たすが $\epsilon$ を否定することを用いて、重要な推論規則の非許容性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 先行文献にそのような結果がないにもかかわらず、自然数の部分集合によってインデックス付けられたフレーム列のジャンコフ論理式を用いて、Kripke-不完全な中間論理の連続体を構成することは可能か？
• RQ2 特定のフレーム列に対して、$\omega$ の異なる部分集合が、ジャンコフ論理式を用いて拡張されたとき、それらが互いに異なる中間論理を生成するか？
• RQ3 p-モルフィズムによる還元不能性と非許容的な推論規則を用いて、これらの論理の不完全性を保証することは可能か？
• RQ4 標準的なモダール論理の技法（例：p-モルフィズム、フレーム還元）が、中間論理の文脈ではなぜ完全性を確立できないのか？
• RQ5 ファインとジャンコフがモダール論理で得た結果が、中間論理の世界においてどの程度類似物を持つのか？

主な発見

• 自然数の部分集合が $\omega$ にインデックス付けされたジャンコフ論理式のフレーム列 $\mathcal{F}_n$ を用いて、Kripke-不完全な中間論理の連続体が構成可能である。
• 各 $n \in \omega$ に対して、$\delta$, $\kappa$, $bb_2$, および $\beta^\#(\mathcal{F}_n, \bot)$ を含む論理 $L_n$ は、非許容的な推論規則のため不完全である。
• n ≠ m のとき、$\mathcal{F}_n$ の生成部分フレームから $\mathcal{F}_m$ へのp-モルフィズムは存在しない。これにより、論理の相違が保証される。
• ファインフレームの生成部分フレームから任意の $\mathcal{F}_n$ へのp-モルフィズムは存在しない。これは、$\mathcal{F}_n$ のジャンコフ論理式がファインフレームで妥当でないことを示唆する。
• 各 $\mathcal{F}_n$ が自身のジャンコフ論理式 $\beta^\#(\mathcal{F}_n, \bot)$ を満たすが、他のフレームの論理式を満たさないため、論理同士が互いに異なる。
• 主要結果（定理11）は、初期版に誤った証明が含まれていたが、グイヨーム・マサスによって独立的に修正された。しかし、不完全な論理の連続体が存在するという核心的主張は依然として有効である。