[論文レビュー] A contraction theory-based analysis of the stability of the Extended Kalman Filter

Silvère Bonnabel, Jean-Jacques Slotine|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2012

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、拡張カルマンフィルタ（EKF）を非線形オブザーバとして、収縮理論に基づく解析を提示する。微分枠組みから導かれた新しい十分条件のもとで、状態推定誤差の指数的収束が保証されることを示している。従来のリャプノフに基づく手法とは異なり、本手法はリーマン計量に基づく枠組みを用いて、近接する軌道間の無限小的差異の進化を分析し、収束速度の向上と吸引域の拡大を達成する。特に観測行列ノルムが大きい場合に顕著である。

ABSTRACT

The contraction properties of the Extended Kalman Filter, viewed as a deterministic observer for nonlinear systems, are analyzed. This yields new conditions under which exponential convergence of the state error can be guaranteed. As contraction analysis studies the evolution of an infinitesimal discrepancy between neighboring trajectories, and thus stems from a differential framework, the sufficient convergence conditions are different from the ones that previously appeared in the literature, which were derived in a Lyapunov framework. This article sheds another light on the theoretical properties of this popular observer.

研究の動機と目的

• 従来のリャプノフ法とは異なり、収縮理論を用いて拡張カルマンフィルタ（EKF）の安定性を解析すること。
• EKFの状態推定誤差の指数的収束を保証する新しい十分条件を導出すること。
• システムおよびフィルタのパラメータを用いて、吸引域の大きさと収束速度を定量化すること。
• 新たな収縮理論に基づく結果と既存のリャプノフに基づく境界を比較し、ロバスト性および性能向上の特徴を強調すること。

提案手法

• EKFを動的システムとしてモデル化し、近接する軌道間の無限小的差異の進化をリーマン計量を用いて分析する。
• 誤差ダイナミクスに収縮理論を適用し、2つの近接するEKF軌道が形成する仮想系に注目する。
• 2つの近接する軌道間の距離が指数的に減少する十分条件を導出し、初期条件の記憶の指数的消失を示す。
• 誤差共分散行列のリカッチ方程式を用いて主要な不等式を導出し、仮定1により行列Pの境界を維持する。
• 収束速度と吸引域の大きさを、P、Q、観測行列Cの最小固有値と最大固有値を用いて定量化する。
• 本フレームワークにより、先行研究の一般化が直接可能であり、例えば収束を加速するための安定化項2βPの追加が可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 収縮理論は、リャプノフ法に比べて、拡張カルマンフィルタ（EKF）に対して新たな、より強い安定性保証を提供できるか？
• RQ2 収縮理論とリャプノフ関数を用いた解析とを比較した場合、EKFの収束速度と吸引域の大きさはどのように異なるか？
• RQ3 観測行列ノルムが安定領域に与える影響は何か？ また、収縮理論は、既存の手法に比べてより保守的でない境界を導けるか？
• RQ4 EKFをどのように変更すれば収束速度を向上させつつ安定性を維持できるか？ その理論的根拠は何か？

主な発見

• 収縮理論に基づく手法により、[15]のリャプノフに基づく結果に比べ、収束速度が$ \overline{p}/\underline{p} \geq 1 $の係数で向上し、誤差の速やかな減衰が達成される。
• 保証される吸引域の大きさは、$ (\overline{p}/\underline{p})^{1/2} \geq 1 $の係数で拡大され、初期推定誤差に対するロバスト性が向上する。
• リャプノフに基づく境界が$ \|C(t)\| $の上界$ \overline{c} $に依存するのに対し、収縮理論に基づく境界は$ \overline{c} $に依存しないため、観測行列ノルムが大きい場合によりロバストである。
• リカッチ方程式に項$ 2\beta P $を追加することで、保証される収束速度が$ \beta $上昇するが、これは収縮フレームワーク内で自然に説明可能である。
• 本手法により、先行研究が一般化され、リカッチ方程式に任意の正定値行列$ N $を加えることで、収束速度が$ \underline{n}/\overline{p} $上昇することが示された。ここで$ \underline{n} $は$ N $の最小固有値である。
• 結果として、導出された条件下でEKFが初期条件を指数的に忘れることを示しており、微分的観点からも望ましいフィルタリング特性が確認された。