[論文レビュー] A convergent linear finite element scheme for the Maxwell-Landau-Lifshitz-Gilbert equation

Ľubomír Baňas, Marcus Page+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2013

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、最大でも1ステップあたり2つの線形系を解くことで、無条件収束性を達成する2つの線形有限要素スキームを、Maxwell-Landau-Lifshitz-Gilbert系に対して提案する。アルゴリズムは磁化と場の進化を分離しつつ、有効場にやや弱い仮定を置くだけで弱解への収束を保証する。

ABSTRACT

We consider a lowest-order finite element discretization of the nonlinear system of Maxwell's and Landau-Lifshitz-Gilbert equations (MLLG). Two algorithms are proposed to numerically solve this problem, both of which only require the solution of at most two linear systems per timestep. One of the algorithms is fully decoupled in the sense that each timestep consists of the sequential computation of the magnetization and afterwards the magnetic and electric field. Under some mild assumptions on the effective field, we show that both algorithms converge towards weak solutions of the MLLG system. Numerical experiments for a micromagnetic benchmark problem demonstrate the performance of the proposed algorithms.

研究の動機と目的

• Maxwell-Landau-Lifshitz-Gilbert系の数値的に効率的で無条件収束性を有する時間積分スキームの開発。
• Landau-Lifshitz-Gilbert方程式に対する既存の線形積分スキームを、静磁気的近似にとどまらず、完全な時間依存Maxwell系に拡張すること。
• 各ステップで非線形系の反復を必要とせず、陽的中点法や固定点スキームで見られる時間刻みとメッシュサイズの結合を回避すること。
• 磁化を先に、次に場を解くという分離解法戦略を収束解析に厳密に組み込み、安定性と精度を保証すること。
• 非線形反復を最小限に抑えつつ、無条件収束性を維持するため、より大きな時間刻みを用いた実用的シミュレーションを可能にすること。

提案手法

• 2つのアルゴリズムを提案：アルゴリズム2は1ステップあたり1つの線形系を解く（完全に分離）。アルゴリズム3は1ステップあたり2つの線形系を解く。
• 空間離散化に最低次元の有限要素法を用い、磁化にはノードラグランジュ要素、電磁場にはNédélec要素を採用。
• Maxwell-LLG系にクランク・ニコルソン型時間離散化を適用し、磁化進化に対して中点則に基づく線形化戦略を採用。
• 磁化の単位長さ制約を変分定式化においてラグランジュ乗数を用いて強制し、磁化が単位球面上に保たれることを保証。
• 得られた線形系は、磁化には直接解法、電磁場には多重グリッド前処理を施したUzawa法を用いて解く。
• 時間刻みにおいて予測子・修正子戦略を導入し、精度と安定性を向上。アルゴリズム3では、場の更新に固定点反復を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全なMaxwell-LLG系に対して、各ステップで非線形系を解かずに済む線形有限要素スキームを構築可能か？
• RQ2 磁化を先に、次に電磁場を解く完全に分離されたアルゴリズムでも、弱解への無条件収束性は保たれるか？
• RQ3 収束解析を、静的または簡略化モデルにとどまらず、完全なMaxwell系に由来する時間依存有効場に対しても厳密に拡張可能か？
• RQ4 精度と計算コストの観点から、提案スキームは中点法（ベンチマークとなる非線形法）と比較してどのように性能を発揮するか？
• RQ5 非線形およびマルチスケール項を含む一般の有効場寄与に対しても、収束性と安定性を維持しながら、提案スキームが適応可能か？

主な発見

• 提案された2つのアルゴリズムとも、有効場にやや弱い仮定を置くだけで、Maxwell-LLG系の弱解への無条件収束性を達成する。
• アルゴリズム2は1ステップあたり1つの線形系を解くだけで、完全に分離されており、磁化を先に解き、次に電磁場を解く。
• アルゴリズム3は1ステップあたり2つの線形系を解き、繰り返し補正によるより高精度な場の更新を可能にしつつ、収束性を維持する。
• 数値実験では、中点法（ベンチマークとなる非線形手法）と非常に良好な一致を示し、中点法が要請するよりも大きな時間刻み（k=0.05）でも磁化ダイナミクスのシミュレーションに適している。
• 磁化の近似誤差（例えば、磁化係数の不正確な計算に起因するもの）に対してもスキームは頑健であり、これらの誤差は収束解析に組み込むことができる。
• 固定点反復や陽的時間積分に依存するスキームとは異なり、安定性や収束性を損なわず、時間刻みを最大k=1まで大きくできる。