[論文レビュー] A convergent numerical method for a multi-frequency inverse source problem in inhomogenous media

Loc H. Nguyen, Qitong Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2019

Numerical methods in inverse problems参考文献 39被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ヘルムホルツ方程式に従う不均質媒質における多周波数逆源問題を解く収束性を持つ数値的手法を提案する。問題を結合された楕円型偏微分方程式系の境界値問題に再定式化し、準逆解法を適用することで、新規のカルレマン推定を用いて最小化子の一意性、存在性、収束性を証明した。数値的実験により、ノイズが混在するデータ下でも複雑な源関数の高精度な再構成が確認された。

ABSTRACT

A new numerical method to solve an inverse source problem for the Helmholtz equation in inhomogenous media is proposed. This method reduces the original inverse problem to a boundary value problem for a coupled system of elliptic PDEs, in which the unknown source function is not involved. The Dirichlet boundary condition is given on the entire boundary of the domain of interest and the Neumann boundary condition is given on a part of this boundary. To solve this problem, the quasi-reversibility method is applied. Uniqueness and existence of the minimizer are proven. A new Carleman estimate is established. Next, the convergence of those minimizers to the exact solution is proven using that Carleman estimate. Results of numerical tests are presented.

研究の動機と目的

• 不均質媒質における未知源関数の再構成のための安定的かつ収束性を持つ数値的手法の開発。
• 可変係数および屈折率を有するヘルムホルツ方程式の逆源問題に、特にノイズが混在する状況下での対処。
• 新規のカルレマン推定を用いて数値解の理論的収束性を確立すること。
• さまざまな源配置（内包、リング、連続表面など）に対して、数値的妥当性を検証すること。
• 問題が不十分決定的であっても、データに5%のノイズが含まれる状況下でのロバストネスを示すこと。

提案手法

• 逆源問題を未知源関数を含まない結合された楕円型偏微分方程式系の境界値問題に変換し、PDEから源関数を除去する。
• 領域の全境界にディリクレ境界条件を適用し、特に上側面Γ₊にノイマン条件を適用する。
• 得られた悪条件な境界値問題を安定化・解法するために準逆解法を用いる。
• 最小化子の収束性を理論的に確立する基盤として、新たなカルレマン推定を導出する。
• 周波数依存成分の近似に、切り捨てられたフーリエ級数を用い、数値的実装を可能にする。
• 最小化問題を数値的に解き、既知の周波数応答g(k)を用いた逆スケーリングにより再構成された源関数を求める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘルムホルツ方程式に従う不均質媒質における多周波数逆源問題に対して、収束性を持つ数値的手法を開発可能か？
• RQ2 提案手法は、現実的なノイズレベル下でも計算された解が真の源関数に収束することを保証するか？
• RQ3 準逆解法は、多周波数データから生じる結合系に効果的に適応可能か？
• RQ4 新規のカルレマン推定は、この文脈における最小化子の収束証明をどのように支援するか？
• RQ5 ノイズが混在する状況下で、非コンパクトサポートおよび連続表面を有する複雑な源形状に対し、この手法はどの程度の性能を示すか？

主な発見

• 新規のカルレマン推定を用いて、計算された解が真の源関数に収束することを理論的に証明した。
• 数値的実験では、5%のノイズ下で正負の源値を有する正方形空洞構造において、相対誤差がそれぞれ9.0%および11.0%であった。
• リング形状の源のテストでは、5%のノイズ下で正負の値を再構成し、相対誤差はそれぞれ12.0%および3.0%であった。
• 連続表面源（Matlabの'peaks'関数）のテストでは、5%のノイズ下で最大値と最小値の相対誤差がそれぞれ9.1%および16.0%であった。
• Γ₊におけるノイマンデータが存在しない場合でも、本手法は良好に機能し、過剰決定性に対するロバストネスを示した。
• すべてのテストケースにおいて、再構成された波場v(x,k) = u(x,k)/g(k)は、実部および虚部の両方で真の場に非常に近い一致を示した。