[論文レビュー] A Convergent Numerical Scheme for Scattering of Aperiodic Waves from Periodic Surfaces Based on the Floquet-Bloch Transform

Armin Lechleiter, Ruming Zhang|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2016

Electromagnetic Scattering and Analysis参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非周期的波の周期的表面からの散乱を解くために、フロケット＝ブロッホ変換を用いて非有界な散乱問題を有界な単位セル内の準周期的問題の族に変換する収束性を持つ数値スキームを提示する。この手法は、準周期的問題に対する有限要素離散化と、積分による逆ブロッホ変換を組み合わせており、メッシュサイズ $h$ と積分ノード数 $N$ に対して、それぞれ $O(h^2)$ および $O(N^{-1})$ の最適収束率を、厳密な誤差解析を基に達成している。

ABSTRACT

Periodic surface structures are nowadays standard building blocks of optical devices. If such structures are illuminated by aperiodic time-harmonic incident waves as, e.g., Gaussian beams, the resulting surface scattering problem must be formulated in an unbounded layer including the periodic surface structure. An obvious recipe to avoid the need to discretize this problem in an unbounded domain is to set up an equivalent system of quasiperiodic scattering problems in a single (bounded) periodicity cell via the Floquet-Bloch transform. The solution to the original surface scattering problem then equals the inverse Floquet-Bloch transform applied to the family of solutions to the quasiperiodic problems, which simply requires to integrate these solutions in the quasiperiodicity parameter. A numerical scheme derived from this representation hence completely avoids the need to tackle differential equations on unbounded domains. In this paper, we provide rigorous convergence analysis and error bounds for such a scheme when applied to a two-dimensional model problem, relying upon a quadrature-based approximation to the inverse Floquet-Bloch transform and finite element approximations to quasiperiodic scattering problems. Our analysis essentially relies upon regularity results for the family of solutions to the quasiperiodic scattering problems in suitable mixed Sobolev spaces. We illustrate our error bounds as well as efficiency of the numerical scheme via several numerical examples.

研究の動機と目的

• 非周期的入射波が周期的表面に当たる際、非有界領域での散乱問題を解かずに済ませる数値的手法の開発。
• 準周期的散乱問題に応用された逆フロケット＝ブロッホ変換に基づくスキームの収束性および誤差境界を厳密に解析すること。
• 準周期的パラメータに関して、解の族が弱微分可能であり、$1 \leq q < 2$ に対して $L^q$ 可積分性を満たすことを確立し、安定な数値積分を可能にする。
• 誤差の制御された減少を示す数値例を通じて、スキームの効率性と正確性を実証すること。

提案手法

• 散乱問題はフロケット＝ブロッホ変換を用いて再定式化され、非有界領域問題が単一の周期的セル内の準周期的問題の族に還元される。
• 元の問題の解は、準周期的パラメータ $\alpha \in \mathbb{R}$ における積分則を用いて近似される逆フロケット＝ブロッホ変換により再構成される。
• 有界な単位セル内での各準周期的散乱問題は、境界上での外部ディリクレ-ト-ノイマン作用素を用いた変分式に基づく有限要素法によって解かれる。
• 収束解析は、混合ソボレフ空間における解の族の正則性結果に依存し、$q < 2$ に対して $α$ に関する弱微分の $L^q$ 可積分性を保証する。
• 誤差境界は、2つの成分のバランスに依存する：有限要素誤差（$O(h^2)$）と積分誤差（$O(N^{-1})$）であり、これにより組み合わせ誤差推定 $\|u_{N,h} - u\|_{L^2} \leq C R(u^i) [h^2 + N^{-1}]$ が得られる。
• スキームの妥当性は、$h = c_0 N^{-1/2}$ とすることで $h$ と $N$ をバランスさせ、$L^2$-誤差において観測された収束率が $O(N^{-1})$ またはそれ以上であることを通じて数値的に検証された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非周期的波の周期的表面からの散乱に対して、フロケット＝ブロッホ変換を用いて非有界領域での問題を解かずに収束性を持つ数値スキームを導出可能か？
• RQ2 準周期的問題の有限要素離散化と逆ブロッホ変換に基づく数値スキームの最適収束率は何か？
• RQ3 解の族が準周期的パラメータに関して示す正則性が、積分近似の収束に与える影響は何か？
• RQ4 ヘルムホルツ散乱の文脈において、有限要素法と積分法の組み合わせによる近似の厳密な誤差境界は何か？
• RQ5 波数や源の位置が変化する実際の例において、数値結果は理論的収束率とどのように一致するか？

主な発見

• 数値スキームは、$\|u_{N,h} - u\|_{L^2} \leq C R(u^i) [h^2 + N^{-1}]$ の組み合わせ誤差境界を達成し、$h$ は有限要素メッシュサイズ、$N$ は積分ノード数である。
• $h$ を 0.01 に固定した場合、$N \geq 320$ で相対 $L^2$-誤差が $O(N^{-1})$ よりも速く減少しており、解の族の $α$ に関する正則性推定の改善が可能性であることを示唆している。
• $N=320$ の場合、有限要素誤差が積分誤差を支配しており、観測された収束率は $O(h^2)$ であり、理論的予測と一致している。
• $h$ が十分に小さい場合、積分誤差が支配的となり、誤差は $O(N^{-1})$ に従って減少し、理論的境界が確認された。
• $h = c_0 N^{-1/2}$ と設定した数値例では、一部のケースで収束勾配が約 $-1.5$ となり、$O(N^{-1})$ よりも速い収束を示しており、スキームの堅牢性を裏付けている。
• 6つの例にわたる観測された収束行動は、理論的 $O(h^2 + N^{-1})$ 誤差推定と一致しており、図3では $N$ に対する相対 $L^2$-誤差の対数プロットが予測された率と一致している。