[論文レビュー] A Convergent Staggered Scheme for the Variable Density Incompressible Navier-Stokes Equations

J.‐C. Latché, Khaled Saleh|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 42被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、Rannacher-Turek要素を用いた、可変密度を伴う非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の時間依存問題に対して、収束性を示す陰的ステガード有限要素スキームを提示する。このスキームは、有限体積法に基づく対偶項離散化により離散的運動エネルギー保存則を保持する。主な貢献は、メッシュと時間刻みがゼロに近づくにつれて、離散スキームの解が連続問題の弱解に収束することを厳密に証明した点であり、コンパクト性および位相的次数論の議論により収束性と弱解の存在が確立される。

ABSTRACT

In this paper, we analyze a scheme for the time-dependent variable density Navier-Stokes equations. The algorithm is implicit in time, and the space approximation is based on a low-order staggered non-conforming finite element, the so-called Rannacher-Turek element. The convection term in the momentum balance equation is discretized by a finite volume technique, in such a way that a solution obeys a discrete kinetic energy balance, and the mass balance is approximated by an upwind finite volume method. We first show that the scheme preserves the stability properties of the continuous problem (L $\infty$-estimate for the density, L $\infty$ (L 2)-and L 2 (H 1)-estimates for the velocity), which yields, by a topological degree technique, the existence of a solution. Then, invoking compactness arguments and passing to the limit in the scheme, we prove that any sequence of solutions (obtained with a sequence of discretizations the space and time step of which tend to zero) converges up to the extraction of a subsequence to a weak solution of the continuous problem.

研究の動機と目的

• 可変密度を伴う非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式のための安定的で一致的かつ収束性を示す数値スキームの開発。
• 離散スキームが運動エネルギー保存則を保持することを保証し、シミュレーションの安定性と信頼性に寄与すること。
• 空間および時間離散化パラメータがゼロに近づくにつれて、離散解が連続問題の弱解に収束することの証明。
• 位相的次数論とコンパクト性の議論を用いて、各メッシュおよび時間刻みにおける離散解の存在を確立すること。

提案手法

• 速度および圧力にRannacher-Turek要素に基づく非適合なステガード有限要素法を用いた陰的時間離散化。
• 対偶セル上で有限体積法を用いて対流項を離散化し、離散的運動エネルギー保存則を保持。
• 質量保存を原始セル上で上風有限体積法で近似し、対偶セルの密度およびフラックスを再構成することで一貫性を確保。
• 各メッシュおよび時間刻みにおける離散解の存在を保証するため、位相的次数論を用いた議論。
• コンパクト性技術を用いて離散解の収束部分列を抽出。
• 離散方程式において極限をとることで、極限が連続問題の弱形式を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 提案された可変密度を伴う非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式のステガード有限要素スキームは、空間および時間離散化パラメータがゼロに近づくにつれて弱解に収束するか？
• RQ2 このスキームは離散的運動エネルギー保存則を保持できるか？ また、その結果として離散解の安定性見積もりが得られるか？
• RQ3 各離散化レベルにおいて離散解の存在が保証されるか？ また、連続理論に依存せずにその存在を証明できるか？
• RQ4 原始セルデータから対偶セル量を再構成することで、離散設定における一貫性および質量保存がどのように保証されるか？

主な発見

• 速度に関してはL∞(L2)およびL2(H1)推定、密度に関してはL∞(L∞)推定が保持され、連続問題の安定性を反映している。
• 対偶セル上で有限体積法による対流項離散化により、離散的運動エネルギー保存則が保持され、安定性および数値的信頼性が向上する。
• 位相的次数論により、各メッシュおよび時間刻みにおける離散解の存在が保証される。
• コンパクト性および弱収束の議論により、任意の離散解の列は（部分列を除いて）連続ナビエ＝ストークス方程式の弱解に収束する。
• 最小限の仮定の下で収束結果が確立され、連続存在理論に依存しないため、弱解の構成的存在証明が得られる。
• 適切な安定化を施すことで、可変粘性モデルへも解析が拡張可能であり、離散的コルンの不等式によりH1ノルムにおける速度の制御が保証される。