[論文レビュー] A convergent Weil-Petersson metric on the Teichmüller space of bordered Riemann surfaces

David Radnell, Eric Schippers+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2014

Analytic and geometric function theory参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、$2g + 2 - n > 0$ を満たす genus $g$ の境界成分を $n$ 個もつ境界付きリーマン面の精密なテイヒミュラー空間に収束するウェイユ・ペトリュスキー計量を確立する。接空間を双曲計量のべき乗まで正則である $L^2$ ベルトラミー微分形式でモデル化することで、著者たちはこの空間が、明確に定義され収束するウェイユ・ペトリュスキー内積を持つヒルバート多様体であることを示し、その幾何的自然性を確認するとともに、'ウェイユ・ペトリュスキークラス' テイヒミュラー空間という呼称の正当化を示している。

ABSTRACT

Let $Σ$ be a Riemann surface of genus $g$ bordered by $n$ curves homeomorphic to the circle $\mathbb{S}^1$, and assume that $2g+2-n>0$. For such bordered Riemann surfaces, the authors have previously defined a Teichmüller space which is a Hilbert manifold and which is holomorphically included in the standard Teichmüller space. Based on this, we present alternate models of the aforementioned Teichmüller space and show in particular that it is locally modelled on a Hilbert space of $L^2$ Beltrami differentials, which are holomorphic up to a power of the hyperbolic metric, and has a convergent Weil-Petersson metric.

研究の動機と目的

• 境界成分を $n > 0$ 個もつ境界付きリーマン面の精密なテイヒミュラー空間に、明確に定義され収束するウェイユ・ペトリュスキー計量を確立すること。
• このテイヒミュラー空間の接空間が、双曲計量のべき乗まで正則である $L^2$ ベルトラミー微分形式のヒルバート空間に局所的にモデル化されることを示すこと。
• 収束する WP 計量を備えたヒルバート多様体としての性質を示すことにより、精密なテイヒミュラー空間の幾何的・解析的自然性を確認すること。
• 計量および構造的性質に基づき、精密な空間を 'ウェイユ・ペトリュスキークラス' テイヒミュラー空間と呼ぶことの正当化をすること。

提案手法

• 著者たちは、フリードァン＝シャンカー＝ヴァーファのモジュライ空間構成からのファイバー構造を用いて、精密なテイヒミュラー空間をヒルバート多様体として定義する。
• ベース面における $L^2$ ベルトラミー微分形式を用いて接空間を定義し、これらは双曲計量のべき乗まで正則であるとされ、$H_{-1,1}(\Sigma)$ と表記される。
• ウェイユ・ペトリュスキー内積は、$\rho_\Sigma$ を双曲面積形式とするとき、$\Sigma$ 上での $\mu \overline{\nu} \rho_\Sigma^2$ の積分により明示的に定義される。
• 任意の点における計量を定義するために、基点の変更写像 $f^*$ が用いられ、基点の選択に依存しない不変性が保証される。
• この構成は [15] および [17] のセーディング技術に依拠し、局所的正則同相写像の確立に逆関数定理が適用される。
• チャート写像の微分が単射であり、$C^1$ 逆写像をもつことを示すことにより、計量が明確に定義され収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界付きリーマン面の精密なテイヒミュラー空間は、収束するウェイユ・ペトリュスキー計量を有するか？
• RQ2 このテイヒミュラー空間の接空間は、双曲計量のべき乗まで正則である $L^2$ ベルトラミー微分形式のヒルバート空間にモデル化可能か？
• RQ3 この空間におけるウェイユ・ペトリュスキー計量は、明確に定義され、基点の変更に対して不変か？
• RQ4 精密なテイヒミュラー空間は、収束する WP 計量を備えたヒルバート多様体として自然に同定可能であり、'ウェイユ・ペトリュスキークラス' と呼ぶことの正当化がなされるか？

主な発見

• 条件 $2g + 2 - n > 0$ を満たす境界付きリーマン面の精密なテイヒミュラー空間は、双曲計量のべき乗まで正則である $L^2$ ベルトラミー微分形式の空間 $H_{-1,1}(\Sigma)$ に局所的にモデル化されたヒルバート多様体である。
• ウェイユ・ペトリュスキー計量は、内積 $\left<\mu,\nu\right>_{[\Sigma,\text{Id},\Sigma]} = \iint_{\Sigma} \mu \overline{\nu} \rho_\Sigma^2$ により明示的に定義され、座標変換に対して不変である。
• 計量は、テイヒミュラー空間のすべての点で明確に定義され収束する。一般の点 $[\Sigma,f,\Sigma_0]$ における計量は、基点変更写像 $f^*$ による引き戻しで定義される。
• 恒等写像における接空間は $H_{-1,1}\left(\Sigma\right)$ と同型であり、チャート写像 $\Phi$ の微分は単射であり、$C^1$ 逆写像をもつことから、局所的正則同相写像の性質が確認される。
• この空間は、$H_{-1,1}(\Sigma)$ に局所的にモデル化されたチャートのアトラスを持つ。各チャート写像 $\Phi_{(\Sigma,f,\Sigma_0)}$ は、ある開近傍への正則同相写像である。
• 著者たちは、収束性およびヒルバート多様体構造の観点から、精密なテイヒミュラー空間を 'ウェイユ・ペトリュスキークラス' テイヒミュラー空間と呼ぶことの正当化を示している。