[論文レビュー] A converse theorem for Borcherds products on $X_0(N)$

Bruinier, Jan Hendrik, Schwagenscheidt, Markus|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2018

Analytic Number Theory Research被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、X₀(N) 上の一般化ボルチス積に対して弱い逆定理を確立し、Γ₀(N) に対して Fricke-不変な有理型モジュラー形式で、Heegner divisor と ℚ 上定義された尖点にのみ支持を持つものについて、重み 1/2 の調和マース形式のボルチス積として得られることを証明している。さらに、重み 2 の新形式の中心 L-値の消失に基づいて、乗数系の有限性に関する基準を提示し、モジュラー形式の算術的性質とフーリエ係数の代数的性質を結びつけている。

ABSTRACT

We show that every Fricke invariant meromorphic modular form for $\Gamma_0(N)$ whose divisor on $X_0(N)$ is defined over $\mathbb{Q}$ and supported on Heegner divisors and the cusps is a generalized Borcherds product associated to a harmonic Maass form of weight $1/2$. Further, we derive a criterion for the finiteness of the multiplier systems of generalized Borcherds products in terms of the vanishing of the central derivatives of $L$-function of certain weight $2$ newforms. We also prove similar results for twisted Borcherds products.

研究の動機と目的

• モジュラー曲線 X₀(N) 上の一般化ボルチス積に対する逆定理を確立し、Heegner divisor にのみ支持を持つ有理型モジュラー形式が、重み 1/2 の調和マース形式のボルチス積として得られることを示す。
• そのようなボルチス積の乗数系が有限型である条件を特定し、これに関連する関連モジュラー形式の算術的性質と結びつける。
• 逆定理をねじれボルチス積へ拡張し、フーリエ係数の代数的性質に関する基準を、ヘッケ固有形式および L-関数を用いて導出する。
• 乗数系の有限性が、調和マース形式の正則部分における特定の係数の有理数性と同値であることを、微分形式の周期に関する超越論的結果を用いて証明する。

提案手法

• 特異θリフトを用いて、格子 Lₙ = ℤ(N)⊕U のウェイル表現に対して重み 1/2 の調和マース形式を、X₀(N) 上の有理型モジュラー形式に対応付ける。
• 調和マース形式 f ∈ H⁺₁/₂,ρₙ の主部から一般化ボルチス積を構成し、その除数が与えられた Heegner divisor と尖点の線形結合と一致するように保証する。
• ξ-作用素を用いて調和マース形式を尖点形式へ写像し、ξ₁/₂ の像がボルチス積の乗数系を決定することを用いる。
• 尖点形式の直交分解とヘッケ固有形式理論を用い、ξ₁/₂ の像を分解し、問題を重み 3/2 の新形式に還元する。
• 島村対応を用いて重み 3/2 の尖点形式と重み 2 の新形式を関連付け、関連 L-関数の中心 L-値を用いて乗数系の有限性を判定する。
• 超越論的結果（Waldschmidt, Wüstholz, Scholl）を応用し、乗数系の有限性が、f の正則部分におけるフーリエ係数の有理数性と同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Γ₀(N) に対して Fricke-不変な有理型モジュラー形式で、除数が Heegner divisor にのみ支持され、尖点除数が ℚ 上で定義される場合、その形式は重み 1/2 の調和マース形式の一般化ボルチス積として得られるか？
• RQ2 一般化ボルチス積の乗数系が有限型である条件は何か？ これは算術的性質としてどのように特徴づけられるか？
• RQ3 調和マース形式の正則部分のフーリエ係数の代数的性質と、関連する重み 2 の新形式の中心 L-値の消失との間には、どのような正確な関係があるか？
• RQ4 ねじれボルチス積はこの逆定理の文脈でどのように振る舞うか？ また、それらの代数的性質や乗数系の有限性を保証する条件は何か？

主な発見

• Γ₀(N) に対して Fricke-不変な有理型モジュラー形式で、X₀(N) 上の除数が Heegner divisor の線形結合であるものについては、一意に重み 1/2 の調和マース形式 f ∈ H⁺₁/₂,ρₙ の一般化ボルチス積として得られる。
• 一般化ボルチス積の乗数系が有限型であることは、すべての n ∈ ℤ に対してフーリエ係数 a⁺_f(n², n) が代数的であることと同値である。
• 乗数系の有限性は、ξ₁/₂ による f の像に対応する重み 2 の新形式 G に対して、中心導関数 L′(G, 1) = 0 が成り立つことと同値である。
• f の ξ₁/₂ による像が同時ヘッケ固有形式である場合、係数 a⁺_f(n², n) の代数的性質は、対応する重み 2 の新形式 G に対して L′(G, 1) = 0 が成り立つことを示唆する。
• 調和マース形式 f の主部は、関連するボルチス積の乗数系が有限型であるときかつそのときに限り、代数的係数を持つように選べる。
• f の構成は、ヘッケ固有形式と直交分解技術を組み合わせることで行われ、結果として得られる f は代数的主部を持ち、ξ₁/₂ で所望の尖点形式へ写像される。