[論文レビュー] A converse to Lieb-Robinson bounds in one dimension using index theory

Daniel Ranard, Michael Walter+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2020

Quantum-Dot Cellular Automata被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、1次元量子格子系におけるLieb-Robinson境界の逆を確立する。これは、元来厳密な局所性を保つユニタリ（量子セルオートマトン、QCA）に用いられるGNVWインデックス理論を、近似的に局所性を保つユニタリ（ALPU）へと拡張することで達成される。任意のインデックスがゼロであるALPUは、定数時間の時間に依存する擬局所ハミルトニアンによって正確に生成可能であることが示され、近似的な局所性と正確な局所性の間の溝を埋める。

ABSTRACT

Unitary dynamics with a strict causal cone (or "light cone") have been studied extensively, under the name of quantum cellular automata (QCAs). In particular, QCAs in one dimension have been completely classified by an index theory. Physical systems often exhibit only approximate causal cones; Hamiltonian evolutions on the lattice satisfy Lieb-Robinson bounds rather than strict locality. This motivates us to study approximately locality preserving unitaries (ALPUs). We show that the index theory is robust and completely extends to one-dimensional ALPUs. As a consequence, we achieve a converse to the Lieb-Robinson bounds: any ALPU of index zero can be exactly generated by some time-dependent, quasi-local Hamiltonian in constant time. For the special case of finite chains with open boundaries, any unitary satisfying the Lieb-Robinson bound may be generated by such a Hamiltonian. We also discuss some results on the stability of operator algebras which may be of independent interest.

研究の動機と目的

• 1次元量子セルオートマトン（QCA）の位相的インデックス理論を、近似的に局所性を保つユニタリ（ALPU）へと拡張すること。ALPUは、近似的な因果的コーンを有する現実的なハミルトニアン力学をモデル化する。
• Lieb-Robinson型の力学——近似的に有限速度で情報が伝播する特徴——が、局所的ハミルトニアンによって正確に生成可能かどうかという根本的問題に取り組むこと。
• 特に、$o(1/r)$または$o(1)$の相互作用減衰を示す擬局所ハミルトニアンからの小さな摂動において、GNVWインデックスの安定性を特定すること。
• Lieb-Robinson境界の逆を確立すること：インデックスゼロのALPUが、定数時間内に擬局所ハミルトニアンによって正確に実装可能であることを示すこと。
• 近似埋め込み下での演算子代数およびその包含関係の安定性を分析し、Lieb-Robinson境界や有限鎖上の力学への応用を含む。

提案手法

• QCA用に開発されたGNVWインデックス理論をALPUへ適応するため、演算子代数的手法と近似包含理論を用いて、インデックスが小さな摂動に対して安定であることを証明する。
• 交換子補題（補題3.3）を用いて、1サイト演算子がLieb-Robinson型の境界を満たすならば、任意の有限集合上の演算子に対しても同様の境界が成り立つことを示す。
• 同時近似包含補題（補題B.3）を用いて、可換な部分代数の近似埋め込み下での、共役や二重共役の安定性を制御する。
• 性質Pおよび弱オペレータ位相の技術を用いて、摂動下でもインデックスを保存する近似ユニタリ共役を構成する。
• 有限深さの回路近似をALPUに対してQCAによって構築し、極限過程を用いてALPUに連続的インデックスを定義する。
• 有限鎖で開放境界を持つ場合、Lieb-Robinson境界を満たす任意のユニタリは、インデックスゼロの条件を用いて、時間に依存する擬局所ハミルトニアンによって正確に生成可能であることを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元QCAの位相的インデックス理論を、近似的な因果的コーンを有する近似的に局所性を保つユニタリ（ALPU）へ拡張可能か？
• RQ2 $o(1/r)$または$o(1)$の減衰を示す擬局所ハミルトニアンからの摂動といった小さな摂動において、GNVWインデックスは安定か？
• RQ3 任意のインデックスゼロのALPUが、定数時間内に時間に依存する擬局所ハミルトニアンによって正確に生成可能か——これはLieb-Robinson境界の逆を示す。
• RQ4 Lieb-Robinson境界と、近似包含下での演算子代数の安定性との関係は何か？
• RQ5 開放境界を持つ有限鎖の力学でLieb-Robinson境界を満たす場合、そのダイナミクスは局所的ハミルトニアンによって正確に実装可能か？

主な発見

• GNVWインデックスは小さな摂動に対して安定である：$o(1/r)$または$o(1)$の相互作用減衰を示す任意のALPUは、良好に定義されたインデックスを有し、QCA分類がALPUへ拡張される。
• インデックスがゼロである任意のALPUは、定数時間内に時間に依存する擬局所ハミルトニアンによって正確に生成可能であり、Lieb-Robinson境界の逆を提供する。
• 開放境界を持つ有限鎖では、Lieb-Robinson境界を満たす任意のユニタリは、擬局所的かつ時間に依存するハミルトニアンによって正確に実装可能である。
• ALPUのインデックスはQCAによる近似を通じて定義され、近似列の選択に依存しないことが保証され、一貫性が確保される。
• 交換子補題および弱オペレータ位相の技術を用いて、近似包含下での演算子代数の安定性が確立され、Lieb-Robinson境界への応用を含む。
• Lieb-Robinson境界の逆の証明は、可換な部分代数の同時近似包含に依存し、総誤差の観点から二重共役の上界が得られる。