[論文レビュー] A converse to the Grace--Walsh--Szeg\H{o} theorem

Petter Brändén, David G. Wagner|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Grace-Walsh-Szegöの一致定理の逆を確立し、置換群の対称化作用素が安定性を保つための必要十分条件として、その群が軌道同一型であること、すなわち、群が軌道同一型であるときかつそのときに限り、対称化作用素が安定性を保つことを証明している。主な結果は、元の定理における完全な置換不変性の仮定を弱めることが不可能であることを示しており、指定された条件下で零点の位置に関する性質を保つのは、同型群に限られることを示しており、定理が成り立つために必要な最小限の対称性を同定している。

ABSTRACT

We prove that the symmetrizer of a permutation group preserves stability of a polynomial if and only if the group is orbit homogeneous. A consequence is that the hypothesis of permutation invariance in the Grace-Walsh-Szeg\H{o} Coincidence Theorem cannot be relaxed. In the process we obtain a new characterization of the \emph{Grace-like polynomials} introduced by D. Ruelle, and prove that the class of such polynomials can be endowed with a natural multiplication.

研究の動機と目的

• 置換群 G ≤ S_n に対して、Grace-Walsh-Szegöの一致定理が完全な対称群不変性を超えて一般化可能かどうかを同定すること。
• 元の定理における置換不変性の仮定を、部分群 G での不変性に緩和できるかどうかを調査すること。
• 多アフィン G 不変多項式が上半平面で一致性を満たすような置換群のクラスを同定すること。
• 群の対称化作用素を通じて、安定性を保つ線形作用素とGrace型多項式との間の関係を確立すること。
• 唯一、軌道同一型群（特に同型群）が、一致性の必要十分条件を満たすことを証明すること。

提案手法

• 多アフィン多項式上の線形作用素として、G-対称化作用素 TG = (1/|G|) ∑_{σ ∈ G} σ を定義する。
• 多項式 Q(z,w) = ∑_{σ ∈ S_n} c_σ ∏_{j=1}^n (z_{σ(j)} + w_j) の安定性と作用素 T = ∑_{σ ∈ S_n} c_σ σ の安定性を保つ性質との同値性を用いる。
• 安定多項式の理論とニュートンの不等式を用いて、対称化多項式における対称関数の係数を分析する。
• 部分集合のサイズに関する帰納法を用い、G が同型でない場合、対称化多項式が安定でないことを証明し、仮定に矛盾することを示す。
• モビウス変換とリーマン球面を用いて、円による分離を上半平面への還元を行い、安定性基準の適用を可能にする。
• 対称化作用素が安定性を保つのは、軌道同一型群に限られ、特に同型群であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Grace-Walsh-Szegö定理における完全な置換不変性を、S_n の真部分群 G での不変性に緩和できるか。
• RQ2 正確には、どの置換群 G に対して、一致性の性質が成り立つか：すなわち、ある上半平面 H 内の ξ に対して、f(ξ_1, ..., ξ_n) = f(ξ, ..., ξ) が成り立つか。
• RQ3 G-対称化作用素が多アフィン多項式の安定性を保つような置換群 G のクラスを同定できるか。
• RQ4 対称化多項式 Q(z,w) = ∑_{σ ∈ S_n} c_σ ∏_j (z_{σ(j)} + w_j) が安定であるならば、G は同型であると結論づけられるか。
• RQ5 軌道同一型群と、対称化作用素による安定性の保全との間の関係は何か。

主な発見

• 置換群 G の対称化作用素が安定性を保つための必要十分条件は、G が軌道同一型であることである。
• Grace-Walsh-Szegöの一致性が成り立つ唯一の置換群 G は、同型群、すなわちすべての k に対して k-同型である群である。
• 元のGrace-Walsh-Szegö定理における完全な置換不変性の仮定は緩和できない：S_n の真部分群 G < S_n は、いずれも一致性を満たさない。
• z 変数と w 変数が円で分離されたときに零点を持たない多項式（Grace型多項式）の集合は、群代数 C[S_n] の乗法的半群をなす。
• 対称化作用素 TG が安定性を保つのは、G が同型であるときであり、その場合 TG = T_{S_n} となる、完全な対称化作用素に一致する。
• 任意の非同型群 G に対して、f(ξ_1, ..., ξ_n) ≠ f(ξ, ..., ξ) が上半平面 H 内のすべての ξ に対して成り立つような多アフィン G 不変多項式 f が存在し、一致性の性質が破られる。