[論文レビュー] A convex approach to differential inclusions with prox-regular sets: stability analysis and observer design

Samir Adly, Abderrahim Hantoute+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、Lipschitz摂動を伴うprox-regular集合の法線被覆に従う微分包含に対して、凸解析的手法を提案する。最大単調作用素包含への等価性を確立することで、存在性、リャプノフ安定性、解の正則性の証明に、既存の単調作用素理論を適用可能にする。この枠組みを応用して、指数的収束を保証するルエンバーガー型観測器の設計がなされる。

ABSTRACT

In this paper, we study the existence and the stability in the sense of Lyapunov of solutions differential inclusions governed by the normal cone to a prox-regular set and subject to a Lipschitzian perturbation. We prove that such, apparently, more general nonsmooth dynamics can be indeed remodelled into the classical theory of differential inclusions involving maximal monotone operators. This result is new in the literature and permits us to make use of the rich and abundant achievements in this class of monotone operators to derive the desired existence result and stability analysis, as well as the continuity and differentiability properties of the solutions. This going back and forth between these two models of differential inclusions is made possible thanks to a viability result for maximal monotone operators. As an application, we study a Luenberger-like observer, which is shown to converge exponentially to the actual state when the initial value of the state's estimation remains in a neighborhood of the initial value of the original system.

研究の動機と目的

• Lipschitz摂動を伴うprox-regular集合の法線被覆に従う微分包含に対して、解の存在性とリャプノフ安定性を確立すること。
• prox-regular集合に従う非滑らかダイナミクスと、古典的最適単調作用素理論との間のギャップを埋めること。
• 最大単調作用素理論の豊富な理論を活用して、解の連続性および微分可能性の性質を導出すること。
• 理論的枠組みを応用して、保証された収束を有するルエンバーガー型観測器を設計すること。

提案手法

• 最大単調作用素に対する存続性結果を用いて、prox-regular集合上での法線被覆包含と最大単調作用素包含との間の等価性を確立する。
• prox-regular集合の法線被覆を含む微分包含を、最大単調作用素包含に再定式化することで、既存の存在性および安定性結果へのアクセスを可能にする。
• 凸解析および単調作用素理論の道具を用いて、解の正則性（連続性および微分可能性を含む）を分析する。
• 再定式化されたダイナミクスに基づいて、ルエンバーガー型観測器を構築し、システム状態を推定する。
• 初期推定値が真の初期状態の近傍にある場合に、観測誤差が指数的に収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 法線被覆がprox-regular集合に従う微分包含は、最大単調作用素の枠組みに再定式化可能か？
• RQ2 このような非滑らかシステムにおける解のリャプノフ安定性を保証する条件は何か？
• RQ3 この文脈において、解の正則性（連続性および微分可能性など）をどのように確立できるか？
• RQ4 このようなシステムに対して、ルエンバーガー型観測器を設計可能か？また、どのような条件下で収束するか？
• RQ5 初期推定誤差が小さい場合、観測器の収束速度は何か？

主な発見

• prox-regular集合の法線被覆とLipschitz摂動を伴う微分包含は、最大単調作用素包含と等価であり、これにより古典的存在性および安定性理論の適用が可能になる。
• 再定式化の下で、元のシステムの解が連続的かつ微分可能であることが示され、最大単調作用素フレームワークから得られる正則性を継承する。
• 最大単調ダイナミクスへの等価性により、解のリャプノフ安定性が確立される。
• ルエンバーガー型観測器が設計され、初期推定誤差が真の初期状態の近傍にある場合に、真の状態へ指数的収束することが証明された。