[論文レビュー] A Convex Positivstellensatz

Jean B. Lasserre|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2008

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 4被引用数 1

ひとこと要約

この論文では、K⊂ℝⁿ における凸基本閉半代数的集合上で非負であるほとんどすべての凸多項式が、K の定義に使われる凹多項式によって生成される特定の二次モジュールに属することを示すことによって、凸ポジティブステレルンツを確立している。主な結果は、このような多項式がほとんど常に平方和であるということであり、凸集合上の凸非負多項式に対する構成的表現を提供する。

ABSTRACT

Abstract. We provide a specific representation of convex polynomials nonnegative on a convex (not necessarily compact) basic closed semi-algebraic set K⊂R n. Namely, we prove that almost all of them belong to a specific subset of the quadratic module generated by the concave polynomials that define K. In particular, almost all nonnegative convex polynomials are sums of squares.

研究の動機と目的

• 凸基本閉半代数的集合上で非負である凸多項式の表現定理を確立すること。
• そのような集合上で非負である凸多項式の集合の構造を特定すること。
• ほとんどすべての非負凸多項式が、その集合を定義する凹多項式によって生成される特定の二次モジュールに属することを示すこと。
• ほとんどすべての非負凸多項式が平方和であることを示し、古典的ポジティブステレルンツ結果を凸設定に拡張すること。

提案手法

• 著者たちは、凹多項式によって定義される凸基本閉半代数的集合上における凸多項式の構造を分析する。
• 集合 K の定義に使われる凹多項式によって生成される特定の二次モジュールを導入する。
• K 上で非負であるほとんどすべての凸多項式が、この二次モジュールに属することを証明する。
• 証明は、多項式イデアルにおける凸性および非負性の幾何学的・代数的性質に依拠する。
• 「ほとんどすべて」の概念は、凸多項式の空間における一般性の意味で用いられる。
• この表現が、多項式が平方和であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸基本閉半代数的集合上で非負である凸多項式は、特定の代数的構造内に表現可能か？
• RQ2 多項式最適化において、凸性、非負性、および平方和の関係は何か？
• RQ3 凸集合を定義する凹多項式は、非負凸多項式の表現にどのように影響するか？
• RQ4 凸集合上での非負凸多項式が、平方和として表現可能である範囲はどの程度か？
• RQ5 非負多項式に対する古典的ポジティブステレルンツの凸版は存在するか？

主な発見

• K⊂ℝⁿ における凸基本閉半代数的集合上で非負であるほとんどすべての凸多項式は、K を定義する凹多項式によって生成される特定の二次モジュールに属する。
• この表現は、そのような多項式がほとんど常に平方和であることを示唆する。
• この結果は、凸集合上での非負凸多項式の構成的代数的特徴付けを提供する。
• 「ほとんどすべて」の条件は、凸多項式の空間内での一般性の意味で解釈される。
• この定理は、古典的ポジティブステレルンツを凸設定に拡張し、多項式最適化のための新たなツールを提供する。