[論文レビュー] A convexity property of expectations under exponential weights

Márton Balázs, Timo Seppäläinen|ArXiv.org|Jul 30, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 6被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、指数的重みの下での期待値の凸性を確立する。任意の凸関数 $\Phi$ に対して、期待値 $\mathbb{E}^{\theta(\varrho)}[\Phi(X)]$ は、平均粒子密度 $\varrho$ に関して凸である。ここで $\theta(\varrho)$ は、指数的チルトされた期待値 $\varrho(\theta) = \mathbb{E}^\theta[X]$ の逆関数である。この結果は相関不等式を用いて導出され、ゼロレンジおよびブリックレイヤー過程におけるギブス測度の確率的単調性の証明に応用され、電流フラクチュエーションおよび流体力学的フラックスの凸性のカップリングに基づく解析を可能にする。

ABSTRACT

Take a random variable X with some finite exponential moments. Define an exponentially weighted expectation by E^t(f) = E(e^{tX}f)/E(e^{tX}) for admissible values of the parameter t. Denote the weighted expectation of X itself by r(t) = E^t(X), with inverse function t(r). We prove that for a convex function f the expectation E^{t(r)}(f) is a convex function of the parameter r. Along the way we develop correlation inequalities for convex functions. Motivation for this result comes from equilibrium investigations of some stochastic interacting systems with stationary product distributions. In particular, convexity of the hydrodynamic flux function follows in some cases.

研究の動機と目的

• 指数的チルトの下での重み付き期待値の凸性を確立すること、具体的には $\mathbb{E}^{\theta(\varrho)}[\Phi(X)]$ が凸関数 $\Phi$ に対して $\varrho$ に関して凸であること。
• 第二階微分の解析と正負の部分の分離を用いて、$X$ の関数に対する相関不等式を構築し、凸性の証明を支援すること。
• 主な凸性結果を、ゼロレンジおよびブリックレイヤー過程などの相互作用粒子系における特別な初期測度 $\nu^{\theta(\varrho)}$ の確率的単調性の証明に応用すること。
• ジャンプレート関数が凸である場合に、ゼロレンジおよびブリックレイヤー過程における流体力学的フラックス関数 $\mathcal{H}(\varrho)$ の凸性の別証明を提供すること。
• $\nu^{\theta(\varrho)}$ の $\varrho$ に関する単調性を確立することで、定常過程における電流フラクチュエーションのカップリングに基づく解析を支援すること。

提案手法

• 指数的チルト測度 $\mu^\theta$ を $\mathbb{E}^\theta[Y] = \mathbb{E}[Y e^{\theta X}] / \mathbb{E}[e^{\theta X}]$ で定義し、$\varrho(\theta) = \mathbb{E}^\theta[X]$ とする。
• 非退化性により、$X$ が正則であることから、逆関数 $\theta(\varrho)$ が存在し、厳密に増加することが保証される。
• 第二階微分の解析と相関不等式を用いて、$\varrho \mapsto \mathbb{E}^{\theta(\varrho)}[\Phi(X)]$ の凸性を証明する。
• 関数 $\Phi$ の正負の部分を分離し、既知の相関不等式を適用して、期待値の第二階微分を制御する。
• $\nu^{\theta(\varrho)}$-測度の微分を $\frac{d}{d\varrho} \mathbb{P}^{\theta(\varrho)}(X > y) = \text{Cov}^{\theta}(X, \mathbf{1}_{\{X > y\}}) / \text{Var}^\theta X$ として導出する。
• $\nu^{\theta(\varrho)}$ の単調性を $\mathbb{E}^{\theta(\varrho)}[\Phi(X)]$ の第二階微分と関連づけ、非減少関数 $\varphi$ に対してその値が非負であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\Phi$ が凸であるとき、期待値 $\mathbb{E}^{\theta(\varrho)}[\Phi(X)]$ は平均密度 $\varrho$ に関して凸であるか？
• RQ2 ゼロレンジおよびブリックレイヤー過程における初期測度 $\nu^{\theta(\varrho)}$ の確率的単調性は、重み付き期待値の凸性から確立できるか？
• RQ3 ジャンプレート関数が凸である場合、ゼロレンジおよびブリックレイヤー過程における流体力学的フラックス関数 $\mathcal{H}(\varrho)$ は凸のままであるか？
• RQ4 期待値 $\mathbb{E}^{\theta(\varrho)}[\Phi(X)]$ の凸性を用いて、定常粒子系における電流フラクチュエーションのカップリングに基づく境界を導出できるか？
• RQ5 $\mathbb{E}^{\theta(\varrho)}[\Phi(X)]$ の第二階微分と $\nu^{\theta(\varrho)}$-測度の微分の関係は何か？

主な発見

• $\Phi$ が任意の凸関数である限り、期待値が存在し有限であれば、関数 $\varrho \mapsto \mathbb{E}^{\theta(\varrho)}[\Phi(X)]$ は $\varrho$ に関して凸である。
• $\nu^{\theta(\varrho)}$-測度の $\varrho$ に関する微分は $\frac{d}{d\varrho} \mathbb{P}^{\theta(\varrho)}(X > y) = \text{Cov}^{\theta}(X, \mathbf{1}_{\{X > y\}}) / \text{Var}^\theta X$ で与えられる。
• 測度族 $\nu^{\theta(\varrho)}$ は $\varrho$ に関して確率的単調である。これは、任意の非減少関数 $\varphi$ に対する $\nu^{\theta(\varrho)}$-期待値の微分が非負であるためである。
• ジャンプレート関数が凸かつ非定数である場合、ゼロレンジ過程の流体力学的フラックス関数 $\mathcal{H}(\varrho)$ は強く凸である。
• 関数 $f$ が凸であり、恒等的に 1 でない場合、ブリックレイヤー過程の流体力学的フラックス関数 $\mathcal{H}(\varrho)$ は強く凸である。
• $\mathbb{E}^{\theta(\varrho)}[\Phi(X)]$ の第二階微分は非負であり、凸性が確認され、粒子系におけるカップリングに基づく単調性の議論が可能になる。