[論文レビュー] A cookbook for finite element methods for nonlocal problems, including quadrature rules and approximate Euclidean balls

Marta D’Elia, Max Gunzburger+1 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2020

Numerical methods in engineering参考文献 41被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、非局所問題における有限要素法（FEM）の包括的なクッキー・ブックを提示する。特に、四重積分則と近似非局所近傍（特にユークリッド球の多角形近似）を用いた剛性行列の効率的アセンブリに焦点を当てている。これらの近似が最適収束率を維持する一方で、計算コストを顕著に削減できることを示しており、非局所モデルに対するFEMがメッシュフリー法と競合可能な性能を発揮することを実証している。

ABSTRACT

The implementation of finite element methods (FEMs) for nonlocal models with a finite range of interaction poses challenges not faced in the partial differential equations (PDEs) setting. For example, one has to deal with weak forms involving double integrals which lead to discrete systems having higher assembly and solving costs due to possibly much lower sparsity compared to that of FEMs for PDEs. In addition, one may encounter non-smooth integrands. In many nonlocal models, nonlocal interactions are limited to bounded neighborhoods that are ubiquitously chosen to be Euclidean balls, resulting in the challenge of dealing with intersections of such balls with the finite elements. We focus on developing recipes for the efficient assembly of FEM stiffness matrices and on the choice of quadrature rules for the double integrals that contribute to the assembly efficiency and also posses sufficient accuracy. A major feature of our recipes is the use of approximate balls, e.g., several polygonal approximations of Euclidean balls, that, among other advantages, mitigate the challenge of dealing with ball-element intersections. We provide numerical illustrations of the relative accuracy and efficiency of the several approaches we develop.

研究の動機と目的

• 非局所弱形式における二重積分と密なスパarsityパターンのため、非局所モデルにおける有限要素法の剛性行列のアセンブリにかかる高コストと複雑さに対処すること。
• 非局所弱形式に生じる二重積分に対して、実用的で効率的かつ高精度な四重積分則を開発すること。
• 幾何的積分を簡素化し、計算負荷を低減するため、ユークリッド球の多角形近似を含む近似非局所近傍を導入すること。
• 2次元および3次元のシミュレーションにおいて、精度を損なわずに効率性を保つ四重積分則の選定法についてのガイダンスを提供すること。
• 数値的に、近似近傍が最適収束率を達成する一方で、アセンブリ時間を顕著に短縮することを実証すること。

提案手法

• 非局所FEM剛性行列のアセンブリに、弱形式における外積分と内積分の両方の二重四重積分則を用いた体系的なアプローチを提案する。
• ユークリッド球の多角形近似を用いて非局所近傍を近似することで、積分領域を単純化し、複雑な球体-要素交差計算を回避する。
• 集合の対称差を用いた非局所近傍の近似誤差の境界を導出し、近似が改善するにつれて収束することを示す。
• コーシー＝シュワルツの不等式と$L^2$-ノルム推定を用いて、正確な非局所双線形形式と近似形式との間の整合性誤差を上限付ける。
• エネルギーノルムと離散問題の適切に定義された性質を用いて、整合性誤差と解全体の誤差との関係を結びつける。
• 2次元における数値実験を通じて、提案手法の精度と効率性を検証し、球近傍の異なる多角形近似を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所FEM剛性行列のアセンブリを、精度を損なわずにどのようにしてより効率化できるか？
• RQ2 ユークリッド球の多角形近似を用いることで、離散系の収束率と条件数にどのような影響が生じるか？
• RQ3 非局所FEMにおける二重積分の四重積分則の中で、精度と計算コストのバランスを最も良くするものは何か？
• RQ4 近似非局所近傍は、幾何的積分の複雑さを軽減しつつ、最適収束率を維持できるか？
• RQ5 近傍近似によって生じる誤差は、有限要素近似と四重積分による誤差と比べてどの程度か？

主な発見

• ユークリッド球の多角形近似を非局所近傍に用いることで、エネルギーノルムにおいて正確な非局所モデルと同等の最適収束率が達成される。
• 2次元における数値結果から、特定の低コストな多角形近似が計算コストを顕著に削減しながらも、最適な精度を維持していることが示された。
• 正確な非局所双線形形式と近似形式との間の整合性誤差は、真の近傍と近似近傍の対称差の最大測度に比例する項によって上限付けられている。
• 誤差境界は、カーネル関数のesssupと対称差の最大体積に依存しており、近似が改善するにつれて収束することが保証される。
• 提案手法は正確な非局所FEMと同等の精度を達成するが、アセンブリおよび解法コストを顕著に低減しており、3次元シミュレーションにも実用可能である。
• 本研究は、四重積分則の選定や近傍近似を含む、非局所FEMの実装のための実用的でレシピ形式のガイドを提供しており、他の非局所モデルへも応用可能である。