[論文レビュー] A Copositive Approach for Two-Stage Adjustable Robust Optimization with Uncertain Right-Hand Sides

Guanglin Xu, Samuel Burer|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2016

Risk and Portfolio Optimization参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、右辺の不確実性を伴う2段階調整型ロバスト最適化に対して、標準のアフィン方策よりもタイトな半正定値に基づく近似を可能にする、コポジティブプログラミングの再定式化を提案する。この手法により、計算可能で多項式時間で解ける近似が得られ、アフィン方策が著しく失敗する特定のクラスのインスタンスを正確に解くことが可能となる。

ABSTRACT

We study two-stage adjustable robust linear programming in which the right-hand sides are uncertain and belong to a convex, compact uncertainty set. This problem is NP-hard, and the affine policy is a popular, tractable approximation. We prove that under standard and simple conditions, the two-stage problem can be reformulated as a copositive optimization problem, which in turn leads to a class of tractable, semidefinite-based approximations that are at least as strong as the affine policy. We investigate several examples from the literature demonstrating that our tractable approximations significantly improve the affine policy. In particular, our approach solves exactly in polynomial time a class of instances of increasing size for which the affine policy admits an arbitrarily large gap.

研究の動機と目的

• 不確実な右辺を伴う2段階調整型ロバスト最適化（ARO）のタイトで計算可能な近似を構築すること。AROはNP困難であり、通常は部分最適な方策によって解かれる。
• 不確実性集合の標準的な凸性およびコンact性の仮定の下で、ARO問題のコポジティブ最適化再定式化を確立すること。
• アフィン方策を支配する計算可能で多項式時間で解ける半正定値に基づく近似の階層を導出すること。
• 数値例を通じて、アフィン方策が失敗する場面で、提案された近似が双対ギャップを顕著に縮小することを示すこと。
• コポジティブアプローチが特定の2段階方策のクラスに対応しているかどうかを調査し、そのような方策を解の出力から抽出する方法を提示すること。

提案手法

• 同次化された不確実性集合と非負の象限の積上でのコポジティブ最適化問題として、2段階調整型ロバスト線形計画問題を再定式化する。
• コポジティブ再定式化を用いて、完全正定値錐による計算可能な内部近似を導出し、半正定値計画問題の階層を構築する。
• 内部近似錐 $\mathrm{IB}(\widehat{\mathcal{U}} \times \mathbb{R}^m_+)$ を定義し、コポジティブ錐の計算可能な緩和として用いることで、効率的な計算を可能にする。
• 標準的仮定（コンパクト性、凸性、計算可能性）のもとで、コポジティブ再定式化が正確であり、内部近似が有効であることを証明する。
• コノイカル最適化ソルバー（例：Mosek）を用いて手法を実装し、アフィン方策およびモンテカルロ下界との性能を比較する。
• 構造的不確実性集合（例：2次錐）を有するランダムインスタンスを用いて、スケーラビリティとギャップの縮小をテストする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不確実な右辺を伴う2段階調整型ロバスト最適化は、標準的仮定のもとでコポジティブ計画問題として正確に再定式化可能か？
• RQ2 提案された半正定値に基づく近似は、広く用いられるアフィン方策と比較して、最適性ギャップの観点でどの程度優れているか？
• RQ3 アフィン方策が任意に大きな最適性ギャップを示すインスタンスを、コポジティブアプローチが正確に解けるか？
• RQ4 コポジティブアプローチが暗黙的に強制する特定の2段階方策のクラス（例：多項式的、非線形的）は存在するか？
• RQ5 内部近似の解から具体的な方策 $y(\cdot)$ をどのように抽出できるか？

主な発見

• 不確実な右辺を伴う2段階調整型ロバスト最適化問題は、標準的仮定のもとでコポジティブ計画問題として再定式化され、正確な表現が得られる。
• 提案された内部近似 $\mathrm{IB}(\widehat{\mathcal{U}} \times \mathbb{R}^m_+)$ は、アフィン方策よりも厳密に強い計算可能な半正定値計画問題の階層を生成する。
• 1,000個のランダムインスタンスのうち971個では、新しい境界 $v_{\mathrm{IB}}^*$ がアフィン方策の境界 $v_{\mathrm{Aff}}^*$ と一致したが、残りの29個では相対ギャップの縮小が平均20.2%であった。
• アフィン方策が任意に大きな最適性ギャップを示すインスタンスのクラスを正確に解くことができ、最悪ケースにおける優位性が実証された。
• 計算結果から、本手法は妥当にスケーリング可能であることが示された：最大インスタンス（5.3節）は14,861変数および73×73の半正定値行列を伴い、35秒で解けた。1,000インスタンスの平均時間は0.73秒であった。
• 仮定4（特定の双対解の存在）が成り立たない場合でも、手法は有効であることが示され、技術的仮定に対して頑健であることが示された。