[論文レビュー] A Copula Statistic for Measuring Nonlinear Multivariate Dependence

Mohsen Ben Hassine, Lamine Mili+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2016

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 38被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、経験的コプシラを用いた新しい多変量依存度測定法であるコプシラ統計（CoS）を紹介する。CoSは、非線形依存度をフレチェット＝フーディング境界と独立コプシラとの相対的距離を通じて測定する。TICe、dCor、RDC、Ccorと比較して、単調および円形依存性を検出する際に優れた統計的パワーを示し、近似的正規性のおかげで頑健な独立性検定が可能となり、ノイズのある関数的関係において強いR²同等性を示す。

ABSTRACT

A new index based on empirical copulas, termed the Copula Statistic (CoS), is introduced for assessing the strength of multivariate dependence and for testing statistical independence. New properties of the copulas are proved. They allow us to define the CoS in terms of a relative distance function between the empirical copula, the Fréchet-Hoeffding bounds and the independence copula. Monte Carlo simulations reveal that for large sample sizes, the CoS is approximately normal. This property is utilised to develop a CoS-based statistical test of independence against various noisy functional dependencies. It is shown that this test exhibits higher statistical power than the Total Information Coefficient (TICe), the Distance Correlation (dCor), the Randomized Dependence Coefficient (RDC), and the Copula Correlation (Ccor) for monotonic and circular functional dependencies. Furthermore, the R2-equitability of the CoS is investigated for estimating the strength of a collection of functional dependencies with additive Gaussian noise. Finally, the CoS is applied to a real stock market data set from which we infer that a bivariate analysis is insufficient to unveil multivariate dependencies and to two gene expression data sets of the Yeast and of the E. Coli, which allow us to demonstrate the good performance of the CoS.

研究の動機と目的

• 相関を超えて非線形的かつ非単調的関係を捉える新しい多変量依存度測定法の開発。
• ノイズ下での複雑な関数的依存関係を検出する際のdCorやRDCなどの既存手法の限界を解消すること。
• 大標本における正規性を有するCoSに基づく独立性の統計的検定を確立すること。
• 加法的ガウスノイズを伴う多様な関数的形態における依存度の強さを推定する際のCoSのR²同等性を評価すること。
• 実世界のデータ、特に株価市場および遺伝子発現データセットにおいてCoSの有効性を示すこと。

提案手法

• CoSは、経験的コプシラとフレチェット＝フーディング境界との間の相対的距離関数として定義され、独立コプシラを基準とする。
• この手法は、パラメトリックな形を仮定せずに依存構造を非パラメトリックに推定する経験的コプシラを活用する。
• 大標本サイズ下でのCoSの漸近的正規性は、モンテカルロシミュレーションにより確立され、パラメトリック推論が可能になる。
• CoSの正規近似を用いて独立性の統計的検定を構築し、標準正規分布の分位点に基づく棄却域を設定する。
• 単調、円形、ノイズを含む関数的依存性を有するシミュレーテッドデータを用いて、CoSをTICe、dCor、RDC、Ccorと比較する。
• 加法的ノイズを伴う異なる関数的関係において、CoSが分散説明割合をどの程度一貫して推定できるかを測定することで、R²同等性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既存手法と比較して、CoSは非線形的かつ非単調的多変量依存関係をより効果的に検出できるか？
• RQ2 大標本サイズ下でCoSは漸近的に正規分布に従うか？これにより信頼性の高い統計的検定が可能になるか？
• RQ3 加法的ノイズを伴う多様な関数的形態において、依存度の強さを推定する際のCoSのR²同等性はどの程度か？
• RQ4 二変量解析が失敗する実世界のデータセットにおいて、CoSは隠れた多変量依存関係を解明できるか？
• RQ5 TICe、dCor、RDC、Ccorと比較して、CoSに基づく独立性検定は、さまざまな種類の関数的依存関係を検出する際により高いパワーを示すか？

主な発見

• CoSに基づく独立性検定は、単調および円形関数的依存関係を検出する際、TICe、dCor、RDC、Ccorよりも高い統計的パワーを示す。
• 大標本サイズ下ではCoSは近似的に正規分布に従うため、妥当なパラメトリック仮説検定が可能になる。
• CoSは強いR²同等性を示しており、加法的ガウスノイズを伴う多様な関数的関係において、分散説明割合を一貫して推定する。
• 実際の株価市場データでは、二変量解析は多変量依存関係を明らかにできないが、CoSはこれを効果的に同定する。
• イーストおよびE. coliの遺伝子発現データセットにおいて、CoSは他の手法が見逃したり低く評価したりする有意義な多変量依存関係を同定する。
• 特に円形および単調関係において、ノイズが存在する中でもCoSは複雑な非線形依存関係を検出する際、既存手法を上回る性能を示す。