[論文レビュー] A cotangent bundle slice theorem

Tanya Schmah|ArXiv.org|Sep 9, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、完全に自己双対な運動量値を持つ点へと、Marle よりもおよび Guillemin-Sternberg のハミルトニアンスライス定理を、適切な余接バンドル上に持ち上げたリー群作用へと拡張する、構成的余接バンドルスライス定理を提示する。主な貢献は、再構成方程式を精緻化し、シンプレクティック減少空間の局所正規形を可能にする、新たな明示的分割を、シンプレクティック正規空間に施したことである。

ABSTRACT

This article concerns cotangent-lifted Lie group actions; our goal is to find local and ``semi-global'' normal forms for these and associated structures. Our main result is a constructive cotangent bundle slice theorem that extends the Hamiltonian slice theorem of Marle, Guillemin and Sternberg. The result applies to all proper cotangent-lifted actions, around points with fully-isotropic momentum values. We also present a ``tangent-level'' commuting reduction result and use it to characterise the symplectic normal space of any cotangent-lifted action. In two special cases, we arrive at splittings of the symplectic normal space, which lead to refinements of the reconstruction equations (bundle equations) for a Hamiltonian vector field. We also note local normal forms for symplectic reduced spaces of cotangent bundles.

研究の動機と目的

• 自由でない適切な対称性を有する余接バンドル上に持ち上げた群作用へと、ハミルトニアンスライス定理を拡張すること。
• 完全に自己双対な運動量値を有する点の近傍における、構成的で幾何的な正規形を、シンプレクティック構造に与えること。
• 余接バンドル上に持ち上げた作用のシンプレクティック正規空間を、新規の「接空間レベル」可換還元技術を用いて特徴付けること。
• 特に単純力学系における相対的平衡状態の文脈で、再構成方程式（バンドル方程式）を特殊ケースにおいて精緻化すること。
• シンプレクティック減少空間のための余接バンドル固有の局所正規形を確立し、特異的減少の理解を深めること。

提案手法

• 配置空間 Q において Palais のスライス定理を適用し、q を通る G-軌道に横断的で Gq-不変なスライス A を構成する。
• 得られた微同相を余接バンドルへと持ち上げ、T*Q から T*(G ×_{Gq} A) への G-可換なシンプレクティック微同相を得る。
• ねじれ積 T*(G ×_{Gq} A) を、ねじれのない積 T*(G × A) に展開し、2つの可換作用を導入する：左乗法の余接バンドル上への持ち上げと、Gq-ずれ。
• T*(G × A) 上で接空間レベルの可換還元を実行し、適切な部分空間 B ⊂ A に対して、シンプレクティック正規空間 Ns を T*(G × B) の還元空間として特徴付ける。
• リーマン計量の指数写像の余接バンドル上への持ち上げを用いて、シンプレクティックチューブを構成し、Darboux の定理や定秩埋め込みに依存しない明示的構成を保証する。
• 補題 5.3 を用いて、構成の一意性を検証し、シンプレクティックチューブが標準的性質を有することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由でない場合を含め、余接バンドル上に持ち上げた作用に対して、構成的ハミルトニアンスライス定理を構築することは可能か？
• RQ2 余接バンドル上に持ち上げた群作用において、シンプレクティック正規空間は、接空間レベルの還元によってどのように特徴付けられるか？
• RQ3 配置空間の固定部分群が運動量固定部分群に含まれるような特別な場合に、シンプレクティック正規空間のどのような分割が生じるか？
• RQ4 相対的平衡状態を有する単純力学系の文脈において、新たな分割は再構成方程式（バンドル方程式）をどのように精緻化するか？
• RQ5 余接バンドル設定におけるシンプレクティック減少空間の局所正規形は何か？ そして、特異的減少とどのように関係するか？

主な発見

• 完全に自己双対な運動量値（Gμ = G）を持つ点において、すべての適切な余接バンドル上に持ち上げた作用に対して、新規の余接バンドルスライス定理（定理 5.6）を確立した。これは構成的でシンプレクティックな局所モデルを提供する。
• 2つの状況で、シンプレクティック正規空間 Ns は Ns ≅ T*B という余接バンドル固有の分割を有する：Gz ⊂ Gμ の場合、および点が純粋に群の方向にある場合（つまり z|A = 0）。
• Gz ⊂ Gμ の場合の分割は、自由作用における Montgomery-Marsden-Ratiu の分割を一般化し、非自由で適切な作用へとその適用範囲を拡張する。
• 単純力学系における相対的平衡状態の文脈で、新たな分割により再構成方程式（バンドル方程式）の精緻化されたバージョンが得られ、その構造と適用範囲が向上する。
• 構成により、定理 4.8 および註記 4.15 に示されるように、シンプレクティック減少空間の明示的局所正規形が得られ、これは余接バンドル幾何に特有のものである。
• 別種のシンプレクティックチューブの構成が定理 5.11 および 5.12 で与えられ、これは単純な写像によるねじれ積間の余接バンドル上への持ち上げとして生じることを示し、第 5 章の終わりの例で、このようなチューブの初の明示的計算が提供されている。