[論文レビュー] A cottage industry of lax extensions

Dirk Hofmann, Gavin J. Seal|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2015

Advanced Algebra and Logic参考文献 10被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、V-冪集合モノイド PV 以下の Set-ベースのモノイドの圏と、そのモノイドの V-関係への結合的ラックス拡張の圏との間に随伴を確立する。モノイドの Kleisli 拡張はユニタリ (T,V)-関係を含む普遍性を用いて構成され、このような拡張を持つモノイドのラックス代数の圏が T-モノイドの圏と同型であることが示される。主な貢献は、同型なラックス代数の圏をもつモノイド族の各同型類に対して、標準的代表元を特定する余反射的部分圏埋め込みである。

ABSTRACT

In this work, we describe an adjunction between the comma category of SET-based monads under the V-powerset monad and the category of associative lax extensions of SET-based monads to the category of V-relations. In the process, we give a general construction of the Kleisli extension of a monad to the category of V-relations.

研究の動機と目的

• V が量子化代数であるとき、Set-ベースのモノイドの V-関係への一般的ラックス拡張の枠組みを形式化すること。
• 同型なラックス代数の圏をもたらすモノイドの非一意性に対処し、随伴を用いて標準的代表元を同定すること。
• ユニタリ (T,V)-関係を含む普遍性を用いて、モノイドを V-関係へ Kleisli 拡張すること。
• 結合的ラックス拡張を持つモノイドのラックス代数の圏が T-モノイドの圏と同型であることを示すこと。
• comma 圏 (PV ↓ MndSet) が収束モノイドの圏 (V-LaxExt) の中で全射的余反射的部分圏として埋め込まれることを確立し、各同型類に対して標準的選択肢を提供すること。

提案手法

• V-冪集合モノイド PV を基盤として、モノイド T が PV から射をもつものとして表される comma 圏 (PV ↓ MndSet) を構成する。
• V-Rel^op と Set の間の随伴 (−)◦ ⊣ V-Rel(−, 1) を用いて、モノイドを V-関係へ持ち上げる。
• 関手 (−)♯ を用いて、モノイド T から V-関係への Kleisli 拡張 ˆT を、(T,V)-URel から Set への忘却関手の右随伴として構成する。
• 関係 ˆT が結合的ラックス拡張であるとき、関連するユニタリ (T,V)-関係の圏 (T,V)-URel を定義し、それを用いて随伴における反映子 F を定義する。
• 随伴 F ⊣ G を (PV ↓ MndSet) と V-LaxExt の間で確立する。ここで G はモノイドの射 PV → T をペア (T, ˇT) に写像し、ˇT は Kleisli 拡張である。
• 随伴の単位と余単位が三角恒等式を満たすことを証明し、(T,V)-関係の圏における計算により、随伴が正当化されることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 V-関係へのラックス拡張を通じて、同型なラックス代数の圏をもつモノイド族から、標準的代表元を一意に選ぶ方法は何か？
• RQ2 量子化代数 V に対して、Set-ベースのモノイドの V-関係への Kleisli 拡張の一般的構成法は何か？
• RQ3 結合的ラックス拡張を持つモノイドのラックス代数の圏は、V-関係への拡張において T-モノイドの圏とどのように関係するか？
• RQ4 V-冪集合モノイド PV は、Set-ベースのモノイドのラックス拡張の空間をどのように整理するか？
• RQ5 収束モノイドの圏 (V-LaxExt) は、comma 圏 (PV ↓ MndSet) の余反射的部分圏として特徴付けられるか？

主な発見

• 結合的ラックス拡張 ˆT をもつモノイド T のラックス代数の圏は、定理 3.7.2 で確立された順序同型を通じて T-モノイドの圏と同型である。
• モノイド T から V-関係への Kleisli 拡張 ˆT は、(T,V)-URel から Set への忘却関手の右随伴 (−)♯ として構成され、V-関係への普遍的持ち上げを提供する。
• (PV ↓ MndSet) と V-LaxExt の間の随伴 F ⊣ G が確立され、F は随伴 (−)♯ ⊣ (T,V)-URel(−,1) によって誘導されるモノイドへ写像し、G はモノイドの射 PV → T を (T, ˇT) へ写像する。ここで ˇT は Kleisli 拡張である。
• 随伴の単位 Y: 1 → GF と余単位 κ: FG → 1 が三角恒等式を満たし、F が左随伴、G が右随伴であることが確認され、κ が (PV ↓ MndSet) 内で同型である。
• T が V-パワーで豊かにされたとき、(T,V)-Cat ≅ T-Mon の同型が成り立ち、この同型は射 τ: PV → T を通じた基底量子化代数の変更のもとで保存される。
• 任意の量子化代数 W とモノイドの射 κ: PW → PV に対して、T が誘導された豊かさを備えるとき、(T,V)-Cat は (T,W)-Cat と同型である。これは、ラックス代数構造がこのような射の下で基底量子化代数の変更に対して独立であることを示している。