[論文レビュー] A counterexample concerning quantifier elimination in quasianalytic structures

Krzysztof Jan Nowak|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2013

Advanced Topology and Set Theory参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、古典的な実解析的構造 ℝ_an とは異なり、1/x 関数のみを追加した場合、擬解析的構造は量化記号除去を許さない反例を構成する。項の直線化と Denjoy–Carleman 級の非拡張可能性定理を用いて、特定の定義可能曲線がこの言語で表現できないことを証明し、さらに擬解析的設定では Łojasiewicz の定理（部分解析的曲線は半解析的である）が成り立たないことを示している。

ABSTRACT

This paper is a revised version of our preprints IMUJ Preprint 2012/04 and RAAG Preprint 343 from May 2012. It provides an example of a quasianalytic structure which, unlike the classical analytic structure, does not admit quantifier elimination in the language of restricted quasianalytic functions augmented by the reciprocal function. It also demonstrates that Lojasiewicz's theorem that every subanalytic curve is semianalytic is no longer true in quasianalytic structures. Our construction applies rectilinearization of terms, established in our earlier papers, as well as some theorems on power substitution for Denjoy-Carleman classes and on non-extendability of quasianalytic function germs. The last result relies on Grothendieck's factorization and open mapping theorems for (LF)-spaces.

研究の動機と目的

• 制限付き擬解析的関数の言語に 1/x を追加した場合、以前の研究で残された未解決問題である、擬解析的構造が量化記号除去を許すか否かを解消すること。
• ℝ_an とは異なり、このような擬解析的構造がこの言語で量化記号を除去できないことを示すこと。
• 擬解析的設定では、すべての部分解析的曲線が半解析的であるという Łojasiewicz の定理が成り立たないことを示すこと。
• 擬解析的構造における特定の定義可能曲線が、有理関数と制限付き擬解析的関数のみを用いてパラメトライズできないことを示すこと。
• Grothendieck の (LF)-空間に関する定理を用いて、擬解析的関数の局所的型の非拡張可能性結果を確立すること。

提案手法

• 先行研究 [18] および [19] に続く、擬解析的構造における吹き上げとべき乗置換による項の直線化を用いる。
• Denjoy–Carleman 級のべき乗置換定理を応用し、特異点付近での関数の局所的挙動を分析する。
• Thilliez の研究を発展させた、擬解析的型の非拡張可能性定理を用い、Grothendieck の因子分解定理および (LF)-空間の開写像定理に依拠する。
• log-凸列 M_n = (log log 3)^{-3} (log log(n+3))^{n+3} を用いて、擬解析的かつ微分作用素に関して閉じた特定の擬解析的クラス 𝒬_M を構成する。
• Puiseux 型パラメトライズを用いて矛盾を導く：もし曲線が制限付き言語で定義可能であれば、そのパラメトライズはより小さい擬解析的クラスに属することを意味する。
• 定理 4.2 の直線化定理を適用し、言語内の任意の定義可能関数が、吹き上げとべき乗置換の合成から生じることを示す。関数が期待されるクラスの外にある場合、これは矛盾を引き起こす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制限付き擬解析的関数の言語に 1/x のみを追加した場合、擬解析的構造は量化記号除去を許すか？
• RQ2 擬解析的構造における任意の定義可能曲線は、有理関数と制限付き擬解析的関数のみを用いてパラメトライズ可能か？
• RQ3 次元 ≤1 の部分解析的集合がすべて半解析的であるという Łojasiewicz の定理は、擬解析的構造においても成立するか？
• RQ4 局所的にも、構造の定義可能関数と整合する形で、より大きな定義域に拡張できない擬解析的関数の局所的型は存在するか？
• RQ5 1/x のみを追加した場合、吹き上げとべき乗置換による直線化は、そのような構造における定義可能集合を完全に記述できるか？

主な発見

• M_n = (log log 3)^{-3} (log log(n+3))^{n+3} を用いて構成された、ℝ_𝒬_M という特定の擬解析的構造は、1/x を追加した言語では量化記号除去を許さない。
• 反例は原点を通る平面曲線であり、ℝ_𝒬_M で定義可能であるが、制限付き 𝒬_M 関数と 1/x の項によっては定義できない。
• この失敗は、原点における曲線の局所的型が 𝒬_1(M)^+ には属するが、任意の ⋃_{p odd} 𝒬_1(M^{(p)}) には属さないことに起因し、定義可能性に必要なパラメトライズ形式に反する。
• この結果から、擬解析的構造では Łojasiewicz の定理（部分解析的曲線は半解析的）が成り立たないことが示唆される。
• Grothendieck の (LF)-空間に関する定理を用いて、特定の擬解析的型の非拡張可能性が確立され、それらの型が制限付き言語に表現できないことが示された。
• この構成により、1/x のみを追加した場合でさえ、吹き上げによる直線化のみ（有理べきを含まない）では、擬解析的構造におけるすべての定義可能集合を記述することは不十分であることが確認された。