[論文レビュー] A counterexample to a conjecture about triangle-free induced subgraphs of graphs with large chromatic number

Alvaro Carbonero, Patrick Hompe+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2022

Advanced Graph Theory Research参考文献 9被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、任意に大きな彩色数と3以下のクリーク数を持つグラフ族を構成し、すべての三角形を含まない誘導部分グラフの彩色数が4以下であることを示す。この構成は、大きな二色彩色数、長さ5以上の誘導されない奇数の有向サイクルを含まず、クリーク数が有界な有向グラフを用いることで、彩色数が高くクリーク数が小さいグラフの誘導部分グラフに関する長年の予想を反証する。

ABSTRACT

We prove that for every $n$, there is a graph $G$ with $\chi(G) \geq n$ and $\omega(G) \leq 3$ such that every induced subgraph $H$ of $G$ with $\omega(H) \leq 2$ satisfies $\chi(H) \leq 4$. This disproves a well-known conjecture. Our construction is a digraph with bounded clique number, large dichromatic number, and no induced directed cycles of odd length at least 5.

研究の動機と目的

• 彩色数が高く、クリーク数が有界なグラフは、必ず高彩色数で三角形を含まない誘導部分グラフを含むという、広く知られた予想を反証すること。
• 彩色数が高くクリーク数が小さいグラフにおける誘導部分グラフの構造的制限を調査すること。
• 長さ5以上の誘導されない奇数の有向サイクルを含まない、クリーク数が有界な有向グラフにおける二色彩色数の挙動を調査すること。
• 長さ5以上の誘導されない奇数の有向サイクルを含まない有向グラフにおいて、二色彩色数がクリーク数の関数として有界であるかどうかを特定すること。

提案手法

• n個の頂点からなる有向グラフ {Dn} の列を再帰的に構成し、初期状態として1つの頂点から始め、n−1個の Dn−1 のコピーを用いて、各コピーの頂点のタプルでインデックス付けられた新しい頂点を繰り返し結合する。
• D′n を Dn の変換とし、Dn 内の2頂点間の唯一の有向パスの長さのmod 3 に基づいてエッジを追加する。
• D′n のエッジを、パス長さが 3で割って1余る場合に正のエッジ、2余る場合に逆方向エッジとして符号化する。
• Dn が無閉路であり、任意の2頂点間には高々1つの有向パスしか存在しないことを証明し、D′n が適切に定義された単純有向グラフであることを保証する。
• D′n のエッジの符号構造を用いて、3頂点がすべて互いに接続されることを防ぎ、元の無向グラフに三角形が存在しないことを示す。
• 正または負のエッジを避ける頂点集合への分割に基づく4色分けの議論を用い、三角形を含まない任意の誘導部分グラフの彩色数を4以下に抑える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 彩色数が高く、クリーク数が3以下のグラフは、常に高彩色数で三角形を含まない誘導部分グラフを含むか？
• RQ2 長さ5以上の誘導されない奇数の有向サイクルを含まない有向グラフにおいて、二色彩色数が f(ω(D)) で有界であるような関数 f が存在するか？
• RQ3 ある l に対して、長さが l に等しくない誘導された有向サイクルを含まない有向グラフにおいて、二色彩色数がクリーク数の関数として有界にできるか？
• RQ4 長さ4以上の誘導されない有向サイクルを含まない有向グラフにおいて、二色彩色数が f(ω(D)) で有界であるような関数 f が存在するか？

主な発見

• 任意の n に対して、χ(G) ≥ n かつ ω(G) ≤ 3 を満たすグラフ G が存在し、ω(H) ≤ 2 を満たす任意の誘導部分グラフ H に対して χ(H) ≤ 4 が成り立つ。これは、Conjecture 1.1 が r ≥ 5 に対して反証されることを示す。
• D′n の元の無向グラフは、彩色数が少なくとも n で、クリーク数が3以下であるため、任意に大きな彩色数を持つようなグラフの存在が確認される。
• D′n は長さ5以上の誘導されない奇数の有向サイクルを含まず、その元の無向グラフのクリーク数は3以下である。
• D′n の二色彩色数は少なくとも n であり、長さ5以上の誘導されない奇数の有向サイクルを含まないため、このクラスにおいて二色彩色数がクリーク数の関数で有界でないことが示される。
• D′n の元の無向グラフの任意の三角形を含まない誘導部分グラフの彩色数は、エッジの符号による分割に基づく4色分けの議論により、4以下に抑えられる。
• この構成により、彩色数が高くクリーク数が小さいグラフは、必ず高彩色数で三角形を含まない誘導部分グラフを含むという予想に対する反例が得られ、残りのケース r = 4 のみが未解決のまま残る。