[論文レビュー] A Counterexample to the $2$-jet determination Chern-Moser Theorem in higher codimension

Francine Meylan|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2020

Holomorphic and Operator Theory参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、高余次元における実解析的genericな部分多様体に対する2次ジェット決定定理の反例を構成し、ℂ⁹における余次元5のLevi生成で非退化な部分多様体が、恒等写像と同じ2次ジェットを持つ非自明な実解析的無限小CR自己同型をもつことを示している。この例は、余次元1を超える場合の一般化されたChern-Moser定理を無効にしているが、Tumanovの結果が示すように、厳密強凸性の下では依然として成立する。

ABSTRACT

One constructs an example of a generic quadratic submanifold of codimension $5$ in $\Bbb C^9$ which admits a real analytic infinitesimal CR automorphism with homogeneous polynomial coefficients of degree $3.$

研究の動機と目的

• 実解析的genericな部分多様体が余次元1を超える場合に、Chern-Moserの2次ジェット決定定理の一般化が成り立たないことを反証すること。
• ℂ⁹における余次元5の明示的な例を構成し、genericで、Levi生成で、非退化な二次部分多様体として、自明でない2次ジェットが0である無限小CR自己同型をもつこと。
• 特に厳密強凸性が成り立たない場合に、高余次元におけるジェット決定性の限界を明確にすること。
• 一般のLevi非退化性と、2次ジェット決定性が依然成り立つ強力な条件である厳密強凸性との違いを強調すること。

提案手法

• z₁,…,z₄とw₁,…,w₅を含む5つの実二次定義方程式を用いて、ℂ⁹内の余次元5の実解析的部分多様体Mを定義する。
• Piを関連するヘルミート行列Aiを用いた二次形式として表現し、それらの線形独立性とTumanovの非退化性条件を確認する。
• Mの定義方程式を保つホロモーフィックベクトル場X, Y, Z, Uを構成し、0における無限小CR自己同型代数を生成する。
• Piの間の恒等式と、ベクトル場による作用を導出し、3次同次多項式係数をもつ新たなホロモーフィックベクトル場Tを構成する。
• TがMの定義方程式を保つことを示すことにより、Tがhol(M,0)、つまり0における実解析的無限小CR自己同型の局所的空間の元であることを検証する。
• Tがゼロベクトル場（すなわち恒等写像）と同じ2次ジェットを持つが、T ≠ 0であるため、2次ジェット決定性が破られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CR自己同型の2次ジェット決定性は、余次元1を超える実解析的genericな部分多様体へと拡張可能か？
• RQ2 高余次元におけるLevi生成で非退化な部分多様体が、2次ジェットが自明な非自明な無限小CR自己同型をもてるか？
• RQ3 厳密強凸性が成り立たない状況で、Chern-Moserの2次ジェット定理が失敗する最小の余次元は何か？
• RQ4 定義関数間に二次的恒等式が存在する場合、ジェット決定性にどのような影響を与えるか？

主な発見

• ℂ⁹内の余次元5の実解析的genericな部分多様体Mが構成され、これはLevi生成で、Levi写像が非退化である。
• 部分多様体Mは、Tumanovの非退化性条件を満たしており、det(∑cjAj) ≠ 0を満たす実ベクトルcが存在する。
• 3次同次多項式係数をもつ明示的なホロモーフィックベクトル場T ∈ hol(M,0)が構成され、これは非自明であるが、ゼロベクトル場と同じ2次ジェットを持つ。
• このベクトル場Tは、原点で2次までが自明に作用する非自明な実解析的無限小CR自己同型に対応し、2次ジェット決定性を破る。
• この例は、厳密強凸性のような追加仮定がない限り、余次元>1では一般化された2次ジェット決定定理が成立しないことを示している。
• この結果は、Tumanovの最近の結果が示すように、高余次元における2次ジェット決定性には厳密強凸性が本質的であることを確認している。