[論文レビュー] A counterexample to the weak density of smooth maps between manifolds in Sobolev spaces

Fabrice Béthuel|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 30被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、次元が4以上の多様体 M から2次元球面 S² への滑らかな写像が、Sobolev空間 W^{1,3}(M, S²) 内で逐次的弱収束的ではないことを示す反例を構成する。π₃(S²) = ℤ が非自明であるにもかかわらず、その事実は、幾何的解析における従来の仮定に反する。この結果は分岐輸送理論とホプフファイブレーションに依拠し、強い近似が失敗する状況ですら弱近似が失敗することを示しており、Sobolev写像理論における期待とは対照的である。

ABSTRACT

The present paper presents a counterexample to the sequentially weak density of smooth maps between two manifolds $M$ and $N$ in the Sobolev space $W^{1, p} (M, N)$, in the case $p$ is an integer. It has been shown that, if $p<\\dim M $ is not an integer and the $[p]$-th homotopy group $\\pi_{[p]}(N)$ of $N$ is not trivial, $[p]$ denoting the largest integer less then $p$, then smooth maps are not sequentially weakly dense in $W^{1, p} (M, N)$ for the strong convergence. On the other, in the case $p< \\dim M$ is an integer, examples have been provided where smooth maps are actually sequentially weakly dense in $W^{1, p} (M, N)$ with $\\pi_{p}(N)\ ot = 0$. This is the case for instance for $M= \\mathbb B^m$, the standard ball in $\\mathbb R^m$, and $N=\\mathbb S^p$ the standard sphere of dimension $p$, for which $\\pi_{p}(N) =\\mathbb Z$. The main result of this paper shows however that such a property does not holds for arbitrary manifolds $N$ and integers $p$.Our counterexample deals with the case $p=3$, $\\dim M\\geq 4$ and $N=\\mathbb S^2$, for which the homotopy group $\\pi_3(\\mathbb S^2)=\\mathbb Z$ is related to the Hopf fibration.

研究の動機と目的

• 整数 p に対して π_{[p]}(N) ≠ 0 であるとき、W^{1,p}(M,N) 内で滑らかな写像が逐次的弱収束的であるかどうかという未解決問題を解消すること。
• π₃(S²) = ℤ である臨界ケース p = 3、dim M ≥ 4、N = S² における具体的な反例を構成すること。
• 強い近似が失敗する状況ですら弱近似が失敗することを示し、Sobolev写像理論における従来の期待に挑戦すること。
• 臨界指数領域における分岐輸送理論および灌漑理論との関係を確立すること。
• 副次的に、S²値Sobolev写像に対する S³-リフト問題を解決すること。

提案手法

• ホプフファイブレーションを用いて、滑らかな写像による弱近似が不可能な特異写像を W^{1,3}(M, S²) 内に構成する。
• ホプフ不変量と位相的次数論を用いて、特異写像のホモトピー類が弱近似可能でないことを示す。
• 特に臨界指数 α = αₘ を用いた分岐輸送理論の技法を適用し、最小ネットワークのエネルギーを制御する。
• dyadic立方体における反復的スケーリングと結合による、最小 α-エネルギーの下界を確立する。
• α-エネルギーのスケーリング性と劣加法性を用いて、正規化エネルギーに対する対数的下界を導出する。
• キルホフ則とグラフに基づくエネルギー最小化を用いて、被覆多様体内の特異点をモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数 p に対して π_{[p]}(N) ≠ 0 であるとき、W^{1,p}(M,N) 内で滑らかな写像の逐次的弱収束的性質が保証されるか？
• RQ2 ホプフ不変量が非自明な S² への W^{1,3}(M,S²) 写像は、滑らかな写像による弱近似が可能か？
• RQ3 分岐輸送理論は、Sobolev写像の弱近似問題においてどのような役割を果たすか？
• RQ4 分岐輸送における臨界指数 αₘ は、Sobolev写像空間において非自明な障害をもたらすか？
• RQ5 構築された反例を用いて、S²値Sobolev写像に対する S³-リフト問題は解けるか？

主な発見

• dim M ≥ 4 である W^{1,3}(M, S²) 内に反例が構成され、滑らかな写像が逐次的弱収束的でないことが示された。
• 特異写像はホプフファイブレーションから生じ、非自明なホプフ不変量を有し、滑らかな写像による弱近似が不可能である。
• 臨界的状態 α = αₘ におけるネットワークの最小 α-エネルギーは、点の数に従って対数的に増加し、非コンパクト性を示す。
• 正規化 α-エネルギー Λ^{m,α}_norm(k) は、k ≥ 1 に対して Λ^{m,α}_norm(k) ≥ C q^{-m} C^α_q ⌊log k / log q⌋ を満たす。ここで q = 5 である。
• この結果は、W^{1,3} 内の S² 値写像に対する S³-リフト問題が、滑らかなリフトの弱極限によって常に解けるとは限らないことを示唆する。
• 非自明な π₃(S²) = ℤ が存在するにもかかわらず、弱近似が失敗することから、整数 p に対して π_{[p]}(N) ≠ 0 であるという条件は、弱収束的性質の十分条件ではないことが判明した。