[論文レビュー] A coupled boundary element / finite element method for the convected Helmholtz equation with non-uniform flow in a bounded domain

Fabien Casenave, Alexandre Ern+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2013

Electromagnetic Simulation and Numerical Methods被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、非一様な速度プロファイルを有する亜音速流れにおける移流型ヘルムホルツ方程式に対して、境界要素法と有限要素法の新規結合（BEM-FEM）を提案する。全領域にわたってプランドル＝グローアルト変換を適用することで、外部領域では古典的ヘルムホルツ方程式、内部領域では非対称性を有する歪対称摂動項を有する異方的PDEに問題を再定式化し、自然な界面伝達条件を実現するとともに、標準ソルバを用いた効率的解法を可能にする。2つの定式化が提案されており、一方は共鳴に起因する問題を有するが、他方は共鳴を回避する。

ABSTRACT

We consider the convected Helmholtz equation modeling linear acoustic propagation at a fixed frequency in a subsonic flow around a scattering object. The flow is supposed to be uniform in the exterior domain far from the object, and potential in the interior domain close to the object. Our key idea is the reformulation of the original problem using the Prandtl--Glauert transformation on the whole flow domain, yielding (i) the classical Helmholtz equation in the exterior domain and (ii) an anisotropic diffusive PDE with skew-symmetric first-order perturbation in the interior domain such that its transmission condition at the coupling boundary naturally fits the Neumann condition from the classical Helmholtz equation. Then, efficient off-the-shelf tools can be used to perform the BEM-FEM coupling, leading to two novel variational formulations for the convected Helmholtz equation. The first formulation involves one surface unknown and can be affected by resonant frequencies, while the second formulation avoids resonant frequencies and involves two surface unknowns. Numerical simulations are presented to compare the two formulations.

研究の動機と目的

• 非一様で亜音速の流れを有する境界付き領域における散乱体周囲の移流型ヘルムホルツ方程式を解く課題に対処すること。
• 流れが一様でない場合、特に散乱体付近で境界要素法と有限要素法を結合する際の困難を克服すること。
• 流れ領域間の界面で自然な伝達条件を保証する変分定式化を開発すること。
• 問題をより取り扱いやすい形に変換することで、標準的で市販のBEMおよびFEMソルバの使用を可能にすること。

提案手法

• 全流れ領域にプランドル＝グローアルト変換を適用し、移流型ヘルムホルツ方程式を変換された系にマッピングすること。
• 外部領域では古典的ヘルムホルツ方程式を満たし、内部領域では非対称性を有する拡散型PDEに歪対称1次項を有する変換系を導出すること。
• 内部領域と外部領域の界面における伝達条件が、古典的ヘルムホルツ方程式からのノイマン条件と自然に一致することを保証すること。
• 1つの表面未知数（共鳴に起因する問題を有する）と2つの表面未知数（共鳴を回避）を用いた2通りの変分アプローチを定式化すること。
• 外部領域には標準的BEM、内部領域には標準的FEMを適用し、問題の再定式化に起因する既存のソルバの活用を可能にすること。
• 数値シミュレーションを実施し、2つの定式化の性能および安定性を比較すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 プランドル＝グローアルト変換を全領域に適用することで、移流型ヘルムホルツ方程式を古典的ヘルムホルツ方程式と異方的PDEに分離できるか？
• RQ2 得られた結合定式化は、内部領域と外部領域間で自然な伝達条件を実現できるか？
• RQ3 この変換されたフレームワークにおいて、標準的BEMおよびFEMソルバを効果的に使用できるか？
• RQ4 1つの表面未知数と2つの表面未知数を用いた2つの提案定式化は、安定性および共鳴挙動においてどのように比較されるか？
• RQ5 非一様亜音速流れにおける音響散乱のモデル化において、これらの定式化の数値的性能はいかがなものか？

主な発見

• プランドル＝グローアルト変換により、外部領域では古典的ヘルムホルツ方程式、内部領域では歪対称摂動項を有する異方的PDEに移流型ヘルムホルツ方程式が成功裏に分離された。
• 内部領域と外部領域の界面における伝達条件が、古典的ヘルムホルツ方程式からのノイマン条件と自然に一致し、滑らかな結合が可能となった。
• 1つの表面未知数を用いる最初の定式化は、積分方程式定式化の性質上、共鳴周波数に起因する問題を有する。
• 2つの表面未知数を用いる2番目の定式化は、二重トレース構造を導入することでシステムの安定化を実現し、共鳴問題を回避した。
• 数値シミュレーションにより、両定式化とも正確な解を達成することが確認されたが、共鳴を回避する定式化は周波数スイープにおいて優れたロバストネスを示した。
• 問題の再定式化に起因して、標準的BEMおよびFEMソルバの使用が可能かつ効果的であることが確認され、効率的な実装が可能となった。