[論文レビュー] A coupled discontinuous Galerkin-Finite Volume framework for solving gas dynamics over embedded geometries

Vincenzo Gulizzi, Ann Almgren+1 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2021

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 90被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、埋め込みカルテシアンメッシュ上で、高次不連続ガラーキン（dG）法とショック捕捉有限体積（FV）法を結合した新規な hp-自己適合メッシュ局所細分化フレームワークを提案する。この手法により、滑らかな領域では高次精度を達成し、最も細かいAMRレベルではFVを用いてショックを動的に追跡することで、非粘性ガス力学を高い精度と強固なショック解像度で解くことが可能となる。曲面カットセルに対してレベルセットベースの幾何表現と高次数の数値積分を用いることで、滑らかな領域では高次精度を実現し、ショックの追跡にはFVを用いる。2次元および3次元のテストケースにおいて、最適な収束性と正確な不連続性解像度を示した。

ABSTRACT

We present a computational framework for solving the equations of inviscid gas dynamics using structured grids with embedded geometries. The novelty of the proposed approach is the use of high-order discontinuous Galerkin (dG) schemes and a shock-capturing Finite Volume (FV) scheme coupled via an $hp$ adaptive mesh refinement ($hp$-AMR) strategy that offers high-order accurate resolution of the embedded geometries. The $hp$-AMR strategy is based on a multi-level block-structured domain partition in which each level is represented by block-structured Cartesian grids and the embedded geometry is represented implicitly by a level set function. The intersection of the embedded geometry with the grids produces the implicitly-defined mesh that consists of a collection of regular rectangular cells plus a relatively small number of irregular curved elements in the vicinity of the embedded boundaries. High-order quadrature rules for implicitly-defined domains enable high-order accuracy resolution of the curved elements with a cell-merging strategy to address the small-cell problem. The $hp$-AMR algorithm treats the system with a second-order finite volume scheme at the finest level to dynamically track the evolution of solution discontinuities while using dG schemes at coarser levels to provide high-order accuracy in smooth regions of the flow. On the dG levels, the methodology supports different orders of basis functions on different levels. The space-discretized governing equations are then advanced explicitly in time using high-order Runge-Kutta algorithms. Numerical tests are presented for two-dimensional and three-dimensional problems involving an ideal gas. The results are compared with both analytical solutions and experimental observations and demonstrate that the framework provides high-order accuracy for smooth flows and accurately captures solution discontinuities.

研究の動機と目的

• 複雑な境界を持つ埋め込み境界を有する幾何形状における圧縮性ガス力学を解くための高次、自己適合数値フレームワークの開発。
• 暗黙的に定義されたメッシュ上での曲面カットセルを伴う埋め込み境界法における「小さなセル問題」を、セル結合と高次数積分により解決する。
• 滑らかな流れ領域では高次dG法を、最も細かいAMRレベルではショック捕捉FV法を用いることで、強固な不連続性解像度を実現する。
• 解の特徴に基づいて適切な次数と解像度を選択することで、精度と計算効率を最適化する動的 hp-自己適合細分化を実現する。

提案手法

• 境界がレベルセット関数で表現されるブロック構造的で多段階のカルテシアンメッシュ階層を用いる。
• 境界付近の不規則な曲面要素に対しては、高次数積分則とセル結合戦略を用い、小さなセル問題を緩和する。
• 粗いAMRレベルでは、各レベルで変動する多項式次数を有する高次dG法を適用するが、最も細かいレベルでは2次FV法を用いてショック捕捉を行う。
• 解の勾配と不連続性指標に基づく動的細分化を用いるhp-AMRを採用し、密度およびショックセンサーのしきい値を用いる。
• 時間積分には高次TVDルンゲ・クッタ法を用い、明示的時間積分における安定性と精度を確保する。
• 並列的でブロック構造的なAMRを実現するAMReXフレームワークを活用し、動的メッシュ生成と負荷分散をサポートする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 hp-AMRを用いた連携dG-FVアプローチは、埋め込み幾何形状問題において滑らかな領域では高次精度を達成し、ショックを強固に解像できるか？
• RQ2 セル結合と高次数積分は、曲面カットセルを伴う埋め込み境界法における小さなセル問題をどの程度効果的に緩和できるか？
• RQ3 複雑な2次元および3次元ガス力学シミュレーションにおいて、動的 hp-自己適合細分化は精度と計算コストのバランスをどの程度うまくとれるか？
• RQ4 解析的および実験的ベンチマークと比較して、本手法はマッハ反射や三重点といった複雑なショック構造をどの程度正確に捉えることができるか？

主な発見

• 滑らかな流れ問題、例えば超音速渦テストにおいて、最適な収束率が達成され、dG離散化の高次精度が確認された。
• ショック支配の流れ、例えば凸-凹壁からのショック反射において、マッハストレートと三重点の形成が正確に捉えられ、数値結果が実験データとよく一致した。
• マッハ数 M = 1.19, 1.30, 1.41 の場合における三重点の計算位置が、実験測定値とよく一致し、ショック捕捉能力が妥当であることが検証された。
• 最も細かいレベルでFVを用いた動的 hp-AMRを採用することで、ショックは常に十分な解像度で解像され、滑らかな領域では高次精度が維持された。
• 複雑な3次元の埋め込み幾何形状と複雑なカットセル構成を効果的に処理でき、静的および動的AMRの両設定において堅牢性を示した。
• AMRレベル間で多項式次数を可変に設定でき、精度を損なわずにマルチスケールの流れ特徴を効率的に解像できる。