[論文レビュー] A crack induced by a thin rigid inclusion partly debonded from the matrix

Y. A. Antipov, S. M. Mkhitaryan|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2016

Numerical methods in engineering参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、弾性マトリックスから部分的にデボンドしている薄い剛性インクルージョンの周囲の応力場に対する閉形式解を提示する。ここで、亀裂がインクルージョンの上側表面を貫通している。支配的となる特異積分方程式を、チェボタレフ＝クリャプコフ行列係数を有する有限区間上のベクトルリーマン＝ヒルベルト問題に変換することで、正確な解が得られ、特に亀裂長とインクルージョン長が等しい場合に不安定であることが判明した。この場合、応力集中の強度は−3/4次にまで増大し、亀裂先端がインクルージョンの端に近づくに従い、応力集中係数は無限大に発散する。

ABSTRACT

The interaction of a thin rigid inclusion with a finite crack is studied. Two plane problems of elasticity are considered. The first one concerns the case when the upper side of the inclusion is completely debonded from the matrix, and the crack penetrates into the medium. In the second model, the upper side of the inclusion is partly separated from the matrix, that is the crack length $2a$ is less than $2b$, the inclusion length. It is shown that both problems are governed by a singular integral equation of the same structure. Derivation of the closed-form solution of this integral equation is the main result of the paper. The solution is found by solving the associated vector Riemann-Hilbert problem with the Chebotarev-Khrapkov matrix coefficient. A feature of the method proposed is that the vector Riemann-Hilbert problem is set on a finite segment, while the original Khrapkov method of matrix factorization is developed for a closed contour. In the case, when the crack and inclusion lengths are the same, the solution is derived by passing to the limit $b/a o 1$. It is demonstrated that the limiting case $a=b$ is unstable, and when $a<b></b>

研究の動機と目的

• 部分的にマトリックスからデボンドしている薄い剛性インクルージョンを有する2次元弾性体における応力集中および亀裂進展挙動を解析すること。
• 亀裂がインクルージョンを越えて延長する場合（a > b）と、短い場合（a < b）の2つの異なる平面弾性問題を定式化し、それぞれを解くこと。
• 新たなアプローチにより、ベクトルリーマン＝ヒルベルト問題を解くことで、両問題を支配する特異積分方程式の閉形式解を導出すること。
• 極限状態a = bを検討し、a ≠ bの場合と比較してその安定性および特異性の挙動を評価すること。
• 応力集中係数（SIF）および接触応力の計算を行い、漸近的解析と数値的検証を通じて結果の妥当性を検証すること。

提案手法

• 複素平面上における双調和作用素の不連続境界値問題として問題を定式化する。
• インクルージョンおよび亀裂の幾何形状とグリーン関数に基づくカーネルを有する特異積分方程式に弾性問題を還元する。
• 有限区間[−1, 1]上におけるベクトルリーマン＝ヒルベルト問題に特異積分方程式を変換し、チェボタレフ＝クリャプコフ行列係数を用いる。
• 古典的なクリャプコフ法とは異なり、閉曲線を仮定しない有限区間上におけるベクトルリーマン＝ヒルベルト問題を解くための新規な手法を開発する。
• ヤコビ多項式および超幾何関数を含む積分恒等式を用いて得られる積分を評価し、閉形式解を導出する。
• 平衡条件の確認と、極限状態a = bにおける既知の文献結果との一貫性を検証することで、解の妥当性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 亀裂が部分的にデボンドしている剛性インクルージョンの周囲の応力場分布はどのように変化するか。特に、亀裂長がインクルージョン長より短いか長い場合に、その挙動はどのように異なるか。
• RQ2 亀裂先端がインクルージョンの端に近づくに従い、特にa → bの極限において、応力集中係数（SIF）はどのように変化するか。
• RQ3 a = bの場合の状態は安定か。また、a ≠ bの場合と比較して、特異性の性質が異なるか。
• RQ4 カーネル構造が複雑であっても、亀裂-インクルージョン相互作用を支配する特異積分方程式に対して閉形式解を導出可能か。
• RQ5 部分的にデボンドした状態におけるインクルージョンとマトリックスの界面における接触応力および変位場は、どのように振る舞うか。

主な発見

• チェボタレフ＝クリャプコフ行列係数を有する有限区間上におけるベクトルリーマン＝ヒルベルト問題を解くことにより、特異積分方程式の閉形式解が得られた。
• a < bの場合、引張応力成分は亀裂先端およびインクルージョン先端で平方根特異性を示し、標準的な破壊挙動を示す。
• 極限状態a = bにおいて、特異性の強度は−3/4次にまで増大し、a ≠ bの場合と比較してより強い応力集中を示す。
• a → b⁻の極限において、モードIおよびモードIIの両方の応力集中係数（SIF）の絶対値は無限大に発散するため、a = bの配置は不安定であることが示された。
• a < bでa → bに近づく際、亀裂はインクルージョンの端に向かって加速する傾向を示し、不安定状態を避けるためにマトリックス内に侵入する動的傾向が示唆される。
• a = bの極限解は、既存の文献における既知の閉形式解と一致し、提案手法の妥当性が検証された。