[論文レビュー] A Cramér--Wold device for infinite divisibility of $\mathbb{Z}^d$-valued distributions

David Berger, Alexander Lindner|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2020

Probability and Risk Models参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{Z}^d$-値分布の無限分解可能性に関するCramér–Wold定理を確立する。この定理により、このような分布が無限に分解可能であるための必要十分条件は、すべての$ a \in \mathbb{R}^d $に対して線形射影$ a^T X $が無限に分解可能であること、あるいは同値に、すべての$ a \in \mathbb{N}_0^d $に対して同様である。主な技術的道具は、$\mathbb{Z}^d$-値分布の零点を持たない特性関数に対する符号付きLévy測度を用いたLévy–Khintchine表現である。

ABSTRACT

We show that a Cramér--Wold device holds for infinite divisibility of $\mathbb{Z}^d$-valued distributions, i.e. that the distribution of a $\mathbb{Z}^d$-valued random vector $X$ is infinitely divisible if and only if $\mathcal{L}(a^T X)$ is infinitely divisible for all $a\in \mathbb{R}^d$, and that this in turn is equivalent to infinite divisibility of $\mathcal{L}(a^T X)$ for all $a\in \mathbb{N}_0^d$. A key tool for proving this is a Lévy--Khintchine type representation with a signed Lévy measure for the characteristic function of a $\mathbb{Z}^d$-valued distribution, provided the characteristic function is zero-free.

研究の動機と目的

• $\mathbb{Z}^d$-値分布の文脈における無限分解可能性に関するCramér–Wold定理を確立すること。
• 多変量設定において一般のCramér–Wold定理が無限分解可能性に対して欠落している問題を、整数値分布に制限することによって解決すること。
• $\mathbb{R}^d$および$\mathbb{N}_0^d$の係数を持つ線形射影による無限分解可能性の特徴付けを提供し、射影が整数値のまま保たれることを保証すること。
• 零点を持たない$\mathbb{Z}^d$-値分布の特性関数に対する符号付きLévy測度を用いたLévy–Khintchine型表現を開発すること。
• すべての1次元射影が無限に分解可能である場合、この表現における符号付きLévy測度が非負（すなわち真のLévy測度）でなければならないことを示し、これにより元の分布の無限分解可能性が導かれる。

提案手法

• 特性関数が零点を持たないという仮定の下で、$\mathbb{Z}^d \setminus \{0\}$に台を持つ符号付き有限測度を用いた$\mathbb{Z}^d$-値分布の特性関数に対するLévy–Khintchine型表現を導出する。
• 特性関数が各座標で$2\pi$-周期的であることを利用し、局所的な零点なしを全$\mathbb{R}^d$に拡張する。
• Lévy–Khintchine表現における符号付きLévy測度の一意性を用いて、すべての1次元射影が無限に分解可能である場合、符号付き測度が非負でなければならないことを示す。
• 方向ベクトル$ a \in \mathbb{R}^d $の成分が$\mathbb{Q}$上で線形独立であることを活用し、押し出し測度$\nu_a$が元の符号付き測度$\nu$の全サポート構造を捉えられることを保証する。
• 分布の弱収束と、無限分解可能分布のクラスが弱収束に関して閉じていることを利用して、稠密な方向集合からの無限分解可能性を、$\mathbb{R}^d$のすべての方向へ拡張する。
• 格子分布の構造と、無限分解可能性がアフィン変換に関して不変であることに着目し、結果をシフトされた格子$ v + A\mathbb{Z}^d $上の分布へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{Z}^d$-値分布の無限分解可能性に関して、Cramér–Wold定理が成立するか、すなわちすべての$ a \in \mathbb{R}^d $に対して線形射影$ a^T X $が無限に分解可能であるならば、元の分布も無限に分解可能であるか？
• RQ2 $a \in \mathbb{N}_0^d$に制限することで、整数値分布のクラスを保ったままCramér–Wold条件を制限できるか。また、この制限でも依然として無限分解可能性を特徴づけられるか？
• RQ3 $\mathbb{Z}^d$-値分布の特性関数に対するLévy–Khintchine表現において、符号付きLévy測度が実際に非負のLévy測度であることを示す条件は何か？
• RQ4 無限に分解可能な射影の稠密な方向集合からの性質を用いて、特性関数の零点なしを確立できるか。また、周期性と全体的な零点なしとの関係は何か？
• RQ5 すべての$ a \in \mathbb{N}_0^d $に対して射影$ a^T X $が無限に分解可能であるならば、$\mathbb{Z}^d$-値分布全体も無限に分解可能であるか？

主な発見

• $\mathbb{Z}^d$-値分布は、すべての$ a \in \mathbb{R}^d $に対して線形射影$ a^T X $が無限に分解可能であることと同値であり、このクラスに対して完全なCramér–Wold定理が成立する。
• 条件を$ a \in \mathbb{N}_0^d $に制限しても、射影が$\mathbb{N}_0$-値のまま保たれ、かつ元の分布の無限分解可能性と等価である。
• 特性関数が零点を持たない場合、$\mathbb{Z}^d$-値分布の特性関数に対して符号付きLévy測度を用いたLévy–Khintchine型表現が存在する。
• すべての1次元射影$ a^T X $が無限に分解可能であり、特性関数が零点を持たない場合、符号付きLévy測度は非負でなければならない。これにより、元の分布が無限に分解可能であることが示される。
• アフィン不変性を用いて、結果は$ v + A\mathbb{Z}^d $上の分布へ拡張可能であり、Cramér–Woldの同値性が保たれる。
• 証明は、無限分解可能分布のクラスが弱収束に関して閉じていることと、$\mathbb{Z}^d$-格子上における特性関数の周期性に依存し、零点なしを全空間に拡張する。