[論文レビュー] A Criterion For Ergodicity of Non-uniformly hyperbolic Diffeomorphisms

Federico Rodriguez Hertz, M. A. Rodriguez Hertz+2 more|ArXiv.org|Oct 11, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、非一様な双曲的微分同相写像におけるエルゴード性の新しい基準を、リャプノフ指数の条件と不変多様体の位相的構造（特にブレンドラの存在を通じて）を組み合わせることで確立する。$C^1$-一般の部分的双曲的保存的微分同相写像で中心バンドルが2次元である場合の安定エルゴード性を証明し、トランスティーブな表面微分同相写像におけるSRB測度の一意性を確立する。

ABSTRACT

In this work we exhibit a new criteria for ergodicity of diffeomorphisms involving conditions on Lyapunov exponents and general position of some invariant manifolds. On one hand we derive uniqueness of SRB-measures for transitive surface diffeomorphisms. On the other hand, using recent results on the existence of blenders we give a positive answer, in the $C^1$ topology, to a conjecture of Pugh-Shub in the context of partially hyperbolic conservative diffeomorphisms with two dimensional center bundle.

研究の動機と目的

• リャプノフ指数と不変多様体の幾何構造に基づく、非一様双曲的微分同相写像におけるエルゴード性の新しい基準を確立すること。
• 部分的双曲的保存的微分同相写像で中心バンドルが2次元である場合の$C^1$位相におけるPugh-Shub予想を解決すること。
• 2次元中心バンドルを持つトランスティーブな表面微分同相写像に対して、SRB測度の一意性を証明すること。
• 安定エルゴード性が、$cs$-および$cu$-ブレンドラがホモクライン的に関連している場合に、やや弱い力学的条件下で成立することを示すこと。

提案手法

• リャプノフ指数と安定・不安定多様体の一般位置関係を結びつける基準を用いて、エルゴード性を導出する。
• 保存的$C^{1+}$微分同相写像に向けた接続補題を応用し、周期点間のホモクライン交叉を生成する。
• 保存的版のMañéのエルゴード的閉じ込め補題およびFrankの補題を用いて、体積と力学的性質を保ちながら微分同相写像を摂動する。
• $C^1$位相における摂動を用いて、実数の中心固有値を伴う共通インデックス1のサイクルを通じて$cs$-および$cu$-ブレンドラを構成する。
• ドミネートドスプリッティングが存在しない場合に、リャプノフ指数が正である微分同相写像が存在することをBochi-Vianaの結果に基づいて活用する。
• Sardの定理を用いて、非Kupka-Smale系に対処し、潜在的な接点にもかかわらず横断的交叉を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様双曲的微分同相写像において、リャプノフ指数および不変多様体構造のどのような条件下でエルゴード性が保証されるか？
• RQ2 部分的双曲的系で中心バンドルが2次元である場合、$C^1$位相におけるPugh-Shub予想（安定エルゴード性）は検証可能か？
• RQ3 特に$cs$-および$cu$-ブレンドラがホモクライン的に関連している場合、それらの存在が安定エルゴード性を示唆するか？
• RQ4 トランスティーブな$C^{1+}$表面微分同相写像に対して、SRB測度の数は一意に定まるか？
• RQ5 Kupka-Smale条件が成り立たない場合、不安定多様体と安定多様体の横断的交叉はどのように保証されるか？

主な発見

• 本論文は、任意の$C^{1+}$トランスティーブ表面微分同相写像が高々1つのSRB測度しか持たないことを証明し、一意性を確立した。
• $C^{1+}$保存的トランスティーブ表面微分同相写像において、複数のSRB測度が存在しないことはエルゴード性を意味するため、このような系はエルゴード的である。
• $C^1$位相において、任意の$C^1$-一般の部分的双曲的保存的微分同相写像で中心バンドルが2次元であるものは、安定エルゴード的である。
• $cs$-ブレンドラが安定次元$s+1$で、$cu$-ブレンドラが不安定次元$u-1$である場合、それらがホモクライン的に関連していると、安定エルゴード性が成立する。
• 中心バンドルにドミネートドスプリッティングが存在しない場合、$C^1$-摂動により正の中心リャプノフ指数を持つ微分同相写像を構成可能であり、これにより定理1.1を適用可能となる。
• 本論文は、部分的双曲的保存的微分同相写像で$ ext{dim}(E^c) = 2$である場合、本質的到達可能性とブレンドラの存在を仮定すれば、$C^1$設定におけるPugh-Shub予想を確認した。