[論文レビュー] A criterion for existence of Néron models of jacobians

Giulio Orecchia|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、次元が1より大きい正則スキーム上のノーディング曲線のヤコビアンのネロンモデルの存在に必要な十分条件である「トーリック加法性」を確立する。トーリック加法性は、特異ファイバーの双対グラフのボッチ数の等式によって定義され、特異ファイバーにおけるヤコビアンのトーリックランクが、境界成分の一般点におけるトーリックランクの和に一致することを保証する。主な結果は、ネロンモデルが存在するための必要十分条件がトーリック加法性であることであり、ヤコビアンの高次元ネロンモデル理論における長年の未解決問題を解消する。

ABSTRACT

Néron models of abelian varieties do not necessarily exist if the base $S$ has dimension higher than 1. We introduce a new condition, called toric additivity, on a family of smooth curves having nodal reduction over a normal crossing divisor $D\subset S$. The condition is necessary and sufficient for existence of a Néron model of the jacobian of the family; it depends only on the Betti numbers of the dual graphs of the fibres of the family, or on the toric ranks of the fibres of the jacobian.

研究の動機と目的

• 次元 >1 の正則スキーム上でのノーディング曲線のヤコビアンに対するネロンモデルの存在問題を解決すること。
• そのヤコビアンのネロンモデルの存在を保証する、ファミリーに内在する明確で内的な条件を同定すること。
• トーリック加法性、ハルムズの条件（アライメント）、および曲線ファミリーの全空間の正則性との関係を明確にすること。
• トーリック加法性が、（例えば優れた基底スキームなどの）弱い仮定のもとでネロンモデルの存在に対して必要かつ十分であることを確立すること。

提案手法

• 特異ファイバーの双対グラフの1次ボッチ数と、境界成分の一般点におけるファイバーの双対グラフのボッチ数の和の等式によって定義される、新しい条件「トーリック加法性」を導入すること。
• 一般化されたヤコビアン Pic^0_{C/S} を関手的で半アーベル的モデルとして用い、ヤコビアンのトーリック部分を捉えることで、局所的に条件をチェック可能にする。
• トーリック加法性がエタール基底変換および全空間のブローアップに関して安定しており、ヤコビアンの Pic^0 構造を保つことを証明すること。
• トーリック加法性が、適切なブローアップの後で正則モデルが得られることを示し、正則全空間に対するネロンモデル存在に関する既知の結果への応用を可能にすること。
• エタール被覆に沿った降下技術を用い、トーリック加法性がエタール被覆の下で降下することを示し、問題を全空間が正則である場合に還元すること。
• 全空間が正則の場合に、ハルムズのアライメント条件とトーリック加法性が同値であることを用いて、逆方向の証明を完成させること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 >1 の正則スキーム上でのノーディング曲線のヤコビアンが、どのような条件下でネロンモデルをもつのか。
• RQ2 特異ファイバーにおけるヤコビアンのトーリックランクは、境界成分の一般ファイバーにおけるトーリックランクとどのように関係するか。
• RQ3 高次元におけるヤコビアンのネロンモデルの存在を特徴づける、ファイバーの双対グラフに関する組合せ的条件は存在するか。
• RQ4 トーリック加法性は、基底変換またはブローアップの後で正則モデルの存在を保証するか。
• RQ5 全空間が正則であるとき、トーリック加法性はハルムズのアライメント条件と同値か。

主な発見

• S が優れたスキームであれば、ヤコビアンのネロンモデルが存在するための必要十分条件として、トーリック加法性が成り立つ。
• この条件は、Γ を特異ファイバーの双対グラフ、Γᵢ を境界成分の一般点におけるファイバーの双対グラフとするとき、等式 h₁(Γ) = h₁(Γ₁) + … + h₁(Γₙ) と同値である。
• トーリック加法性はエタール基底変換および全空間のブローアップに関して安定しており、ヤコビアンの Pic^0 構造を保つ。
• 曲線ファミリーの全空間が正則であれば、トーリック加法性はハルムズのアライメント条件と同値である。
• ヤコビアンが S 上にネロンモデルをもつための必要十分条件は、ファミリーがトーリック加法的であることである。これは全空間が正則でない場合にも成立する。
• この条件は S 上で開集合であるため、ヤコビアンがネロンモデルをもつような最大の開部分集合 V ⊂ S が存在する。