[論文レビュー] A criterion for irreducibility of parabolic baby Verma modules of reductive Lie algebras

Yiyang Li, Bin Shu+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、代数的に閉じた体の素数の特徴を持つ再帰的リーモノイド代数 $A_n$、$B_n$、$C_n$、$D_n$ において、$p$-特性 $χ$ が標準的レヴィ形式であるとき、放物型ベビーヴェルマ加群の既約性の十分条件を確立する。主な結果は、このような加群が $p$-正則重み $λ_0$ が特定のアラコーブに位置する場合に既約であることを示しており、フリードランダーとパラショールが放物型部分代数からの誘導加群の既約性について提起した問いに部分的に答えている。

ABSTRACT

Let $G$ be a connected, reductive algebraic group over an algebraically closed field $k$ of prime characteristic $p$ and $\mathfrak{g}=Lie(G)$. In this paper, we study representations of $\mathfrak{g}$ with a $p$-character $χ$ of standard Levi form. When $\mathfrak{g}$ is of type $A_n, B_n, C_n$ or $D_n$, a sufficient condition for the irreducibility of standard parabolic baby Verma $\mathfrak{g}$-modules is obtained. This partially answers a question raised by Friedlander and Parshall in [Friedlander E. M. and Parshall B. J., Deformations of Lie algebra representations, Amer. J. Math. 112 (1990), 375-395]. Moreover, as an application, in the special case that $\mathfrak{g}$ is of type $A_n$ or $B_n$, and $χ$ lies in the sub-regular nilpotent orbit, we recover a result of Jantzen in [Jantzen J. C., Subregular nilpotent representations of $sl_n$ and $so_{2n+1}$, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 126 (1999), 223-257].

研究の動機と目的

• 放物型部分代数からの誘導加群の既約性に関するフリードランダーとパラショールによる長年の未解決問題に取り組むこと。
• 特にモジュラー表現理論の文脈において、標準的レヴィ形式の $p$-特性を持つ再帰的リーモノイド代数の表現を研究すること。
• タイプ $A_n$、$B_n$、$C_n$、$D_n$ における放物型ベビーヴェルマ加群の既約性の十分条件を提示すること。
• ジャンツェンのサブレギュラー冪零軌道に関する結果を、タイプ $A_n$ および $B_n$ において回復・一般化すること。

提案手法

• 著者らは、ネイルラジカル $\mathfrak{u}_J^+$ に自明な作用を持つレヴィ部分代数 $\mathfrak{g}_J$ の既約表現からの誘導加群として放物型ベビーヴェルマ加群を定義する。
• 重みの解析に際して、$\lambda = \lambda_0 + p\lambda_1$ と分解し、$\lambda_0 \in X_1'(T)$（$X(T)/pX(T)$ の代表元の集合）を用い、最初のドミナントアラコーブ $C_0$ 内の重みを分析する。
• 証明はアフィンワイル群の作用とドット作用を用いて、同じブロックに属する重みを関連付けることに依存する。
• 支持多様体理論および $U_\chi(\mathfrak{g})$-加群の構造の結果を応用して、既約性を分析する。
• タイプ $A_n$ および $B_n$ に対して、$\lambda_0 \in C_0$ かつ $\lambda_0 + \rho$ が根和に関して特定の境界を満たす場合、誘導加群が既約であることを確認する。
• Weyl群の軌道および重みのシフトの明示的計算を用いて、与えられた条件下で誘導加群が既約のままであることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p$-特性 $\chi$ が標準的レヴィ形式であるとき、放物型ベビーヴェルマ加群がどのような条件下で既約になるか。
• RQ2 タイプ $A_n$、$B_n$、$C_n$、$D_n$ において、このような加群の既約性の十分条件を確立できるか。
• RQ3 $\lambda_0$ が最初のドミナントアラコーブ $C_0$ にあり、根和が有界であるという条件が、誘導加群の既約性を保証するか。
• RQ4 この結果が、$\mathfrak{sl}_n$ および $\mathfrak{so}_{2n+1}$ におけるジャンツェンのサブレギュラー冪零軌道の定理を回復できるか。
• RQ5 $p$-正則重みのブロックにおいて、アフィンワイル群の作用によって既約性が保たれるか。

主な発見

• 再帰的リーモノイド代数のタイプ $A_n$、$B_n$、$C_n$、$D_n$ において、$p$-正則重み $\lambda_0$ が最初のドミナントアラコーブ $C_0$ にあり、すべての正根 $\alpha$ に対して $0 \leq \langle \lambda_0 + \rho, \alpha^\vee \rangle < p$ を満たす場合、放物型ベビーヴェルマ加群の既約性の十分条件が確立される。
• タイプ $A_n$ において、誘導加群 $\widehat{\mathcal{Z}}_P(\lambda)$ は $\lambda_0 + \rho = (r_1, \dots, r_n)$ かつ $0 \leq \sum r_i \leq p$ のとき既約であり、その次元は $r_{n-i} p^{N-1}$ に一致し、[6, 定理 2.6] に既知の結果と一致する。
• タイプ $B_n$ において、誘導加群 $\widehat{\mathcal{Z}}_P(\lambda)$ は $\lambda_1 + \rho = (r_1, \dots, r_n)$ かつ $0 \leq \sum_{i=1}^{n-1} 2r_i + r_n \leq p$ のとき既約であり、次元は $1 \leq i \leq n-1$ に対して $r_i p^{N-1}$、$n+1 \leq i \leq 2n-1$ に対して $r_{2n-i} p^{N-1}$ に一致し、[6, 予想 3.13] と整合的である。
• 著者らは、$\chi$ がサブレギュラー冪零軌道に位置し、$\lambda_0$ がアラコーブ条件を満たす場合に、ジャンツェンの $\mathfrak{sl}_n$ および $\mathfrak{so}_{2n+1}$ におけるサブレギュラー冪零軌道に関する結果を特別な場合として回復する。
• 証明により、$\lambda_0$ が $C_0$ にあり、重みが $p$-正則である限り、誘導加群がアフィンワイル群の作用のもとで既約のままであることが確認された。
• $\lambda_0$ が $C_0$ にあるという条件により、すべてのWeyl群の像 $\lambda_i$ も $C_0$ に属することが保証され、これはブロック構造に基づく既約性に不可欠である。