[論文レビュー] A criterion for membership in archimedean semirings

Markus Schweighofer|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2004

Advanced Topics in Algebra被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、preorder に限らない一般の半環に対して、実表現定理（Real Representation Theorem）を拡張することで、アーベドゥル半環への属するための新しい基準を確立する。多項式が半環の実スペクトル上で非負であり、かつ初期形式に関して正の性質を満たすならば、その多項式の十分高いべき乗はすべて非負の係数を持つことを証明しており、ハンデルマンの結果を一般化する。

ABSTRACT

We prove an extension of the classical Real Representation Theorem (going back to Krivine, Stone, Kadison, Dubois and Becker and often called Kadison-Dubois Theorem). It is a criterion for membership in subsemirings (sometimes called preprimes) of a commutative ring. Whereas the classical criterion is only applicable for functions which are positive on the representation space, the new criterion can under certain arithmetic conditions be applied also to functions which are only nonnegative. Only in the case of preorders (i.e., semirings containing all squares), our result follows easily from recent work of Scheiderer, Kuhlmann, Marshall and Schwartz. Our proof does not use (and therefore shows) the classical criterion. We illustrate the usefulness of the new criterion by deriving a theorem of Handelman from it saying inter alia the following: If an odd power of a real polynomial in several variables has only nonnegative coefficients, then so do all sufficiently high powers.

研究の動機と目的

• 古典的な実表現定理の制限を克服すること。これは、厳密な正の性質を弱い非負性に置き換えた場合、十分条件ではあるが必要条件ではないためである。
• すべての平方を含むpreorderに限定されない、一般のアーベドゥル半環への属する基準を開発すること。
• シェイダー、クーリング、マーシャル、シュワーツらの先行研究に依存しない、構成的で再帰的でない手法を提供すること。
• ハンデルマンの定理（多項式の高次のべき乗が非負の係数を持つこと）を一般化すること。
• 初期形式、ニュートン多面体、多項式半環における係数の符号パターンの間の関係を確立すること。

提案手法

• 実スペクトル $ S(T) $ を、すべての環準同型 $ \varphi: A \to \mathbb{R} $ で $ \varphi(T) \subset [0,\infty) $ を満たすもの全体の集合として定義し、積位相を備える。
• アーベドゥル性質を用いて $ S(T) $ がコンパクトであることを保証し、位相的議論の適用を可能にする。
• 重み $ w \in \mathbb{R}^n $ に対する初期形式 $ \operatorname{in}_w(f) $ を用いた価値関数に基づく解析を導入し、ニュートン多面体 $ \operatorname{New}(f) $ の頂点に注目する。
• 補助的多項式 $ c_1, c_2 $ を定義し、それらが $ S(T) $ 上で正であることを利用して、摂動法を用いて $ T $ への属する証明を構成する。
• 定理10を適用し、$ S(T) $ における特定の正の性質（特に $ b_1(N) = 1 - Nc_1 > 0 $ および $ b_2(N) = Nc_2 - 1 > 0 $）が $ S_{a=0}(T) $ 上で満たされる場合、$ a \in T $ であると結論づける。
• 多項式 $ f $ の単項式の数に関する帰納法を用い、一般の場合を、$ f^k $ の初期形式が十分大きな $ k $ に対して非負である場合に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実表現定理を、すべての平方が半環に含まれるpreorderに限定されない、一般のアーベドゥル半環へ拡張することは可能か？
• RQ2 多項式が実スペクトル上で非負であると、すべての十分高いべき乗が非負の係数を持つことを保証する条件は何か？
• RQ3 正の性質 $ \varphi(a) > 0 $ を $ \varphi(a) \geq 0 $ に弱めた場合に、半環への属するための必要十分条件となる基準は存在するか？
• RQ4 さまざまな価値関数における初期形式の正の性質が、多項式の高次のべき乗が非負の係数を持つことを保証できるか？
• RQ5 ニュートン多面体と初期形式の構造をどのように用いることで、多項式のべき乗における係数の符号パターンを導出できるか？

主な発見

• 本稿は、やや弱い条件下でも必要十分な属する基準を、アーベドゥル半環に対して新たに確立し、古典的な実表現定理をpreorderに限定されない一般の半環へ拡張する。
• 多項式 $ f \in \mathbb{R}[\bar{X}] $ が $ (0,\infty)^n $ 上で $ f > 0 $ を満たし、かつ十分大きな $ k $ に対してすべての初期形式 $ \operatorname{in}_w(f^k) $ が非負であれば、$ f $ のすべての十分高いべき乗は非負の係数のみを持つことを示した。
• 主な技術的結果は、$ S(T) $ 上で $ c_2 > 0 $ であることであり、これにより十分大きな $ N $ に対して正の摂動 $ b_2(N) = Nc_2 - 1 > 0 $ を構成でき、定理10の適用が可能になる。
• 証明により、ある $ m $ に対して $ f^{km+1} \in \mathbb{R}[\bar{X}]^+ $ であることが示され、命題20により、$ f $ のすべての高次のべき乗が最終的になぜか $ \mathbb{R}[\bar{X}]^+ $ に属することを示した。
• この結果はハンデルマンの定理を一般化する：実多項式の奇数次のべき乗がすべて非負の係数を持つならば、すべての十分高いべき乗に対しても同様に非負の係数を持つ。
• 本手法はシェイダー他らの先行研究に依存せず、自立的で、かつそれらの結果を特別な場合として含む証明を提供する。