[論文レビュー] A critical look at stochastic inflation

Lucas Pinol, Yuichiro Tada+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2018

Stochastic processes and financial applications被引用数 1

ひとこと要約

この論文は確率的インフレーションフレームワークを厳密に検討し、一般座標不変性がストラトノビッチの処方でのみ保存されることを示しているが、これにはフレーム依存の偽装された効果が伴う。過減衰極限における非線形シグマ模型の軽いスカラー場に対する共変なフォッカー・プランク方程式を導出し、特定の二場モデルの統計的性質が有効な単一場ポテンシャルによって再現可能であることを示している。さらに、双曲的場空間幾何構造を持つ $λ\phi^4$ 理論において明示的な結果が得られている。

ABSTRACT

The stochastic approach aims at describing the long-wavelength part of quantum fields during inflation by a classical stochastic theory. It is usually formulated in terms of Langevin equations, giving rise to a Fokker-Planck equation for the probability distribution function of the fields, and possibly their momenta. The link between these two descriptions is ambiguous in general, as it depends on an implicit discretisation procedure, the two prominent ones being the It\^o and Stratonovich prescriptions. Here we show that the requirement of general covariance under field redefinitions is verified only in the latter case, however at the expense of introducing spurious `frame' dependences. This feature disappears when there is only one source of stochasticity, like in slow-roll single-field inflation, but manifests itself when taking into account the full phase space, or in the presence of multiple fields. Despite these difficulties, we use physical arguments to write down a covariant Fokker-Planck equation that describes the diffusion of light scalar fields in non-linear sigma models in the overdamped limit. We apply it to test scalar fields in de Sitter space and show that some statistical properties of a class of two-field models with derivative interactions can be reproduced by using a correspondence with a single-field model endowed with an effective potential. We also present explicit results in a simple extension of the single-field $\lambda \phi^4$ theory to a hyperbolic field space geometry.

研究の動機と目的

• インフレーション宇宙論におけるストラトノビッチとイトの処方の違いに起因する、確率的ランジュバン方程式とフォッカー・プランク方程式との間の曖昧さを解消すること。
• 多場や全位相空間の状況下において、確率的アプローチが一般座標不変性と整合的であるかを検討すること。
• 過減衰極限における非線形シグマ模型の軽いスカラー場に対して共変なフォッカー・プランク方程式を導出すること。
• 誘導項を伴う特定の二場モデルの統計的性質が、修正されたポテンシャルを持つ有効な単一場モデルによって再現可能であることを示すこと。
• 双曲的場空間幾何構造を持つ $λ\phi^4$ 理論に対して明示的な結果を提供すること。

提案手法

• イトおよびストラトノビッチの処方の両方を用いて、ランジュバン方程式を用いた確率的インフレーションの定式化を行い、対応するフォッカー・プランク方程式を導出する。
• 場再定義の下での確率的形式主義の共変性を分析し、ストラトノビッチ処方が一般座標不変性を保存することを示す。
• ストラトノビッチ処方におけるフレーム依存の偽装効果を同定し、これは単一場・ゆっくり減衰型インフレーションの状況では消失するが、多場や全位相空間の取り扱いでは顕在化することを明らかにする。
• 幾何的および物理的整合性条件を用いて、過減衰極限における非線形シグマ模型の軽いスカラー場に対して共変なフォッカー・プランク方程式を構築する。
• 導出された形式主義をデ de Sitter 空間および誘導項を伴うモデルに適用し、修正されたポテンシャルを持つ有効な単一場理論と等価であることを示す。
• 双曲的場空間幾何構造を持つ $λ\phi^4$ モデルにおいて明示的な計算を実行し、フレームワークの妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的インフレーション形式主義は場再定義の下でも一般座標不変性を保つのか。もしそうならば、どの処方でか。
• RQ2 多場や位相空間形式において、ストラトノビッチ処方が導入するフレーム依存性の物理的影響は何か。
• RQ3 誘導項を伴う二場モデルの統計的性質は、有効な単一場記述によって再現可能か。
• RQ4 過減衰極限における非線形シグマ模型のスカラー場に対して、共変なフォッカー・プランク方程式を一貫して導出する方法は何か。
• RQ5 曲がった場空間、例えば双曲的 $λ\phi^4$ 理論のようなモデルに対して、この形式主義はどのような意味を持つのか。

主な発見

• ストラトノビッチ処方が場再定義の下で一般座標不変性を保存するが、単一場・ゆっくり減衰型インフレーションの状況とは異なり、余分なフレーム依存性の偽装効果が生じる。
• 確率的ゆらぎが一つの源に限られる場合、たとえばゆっくり減衰型単一場インフレーションの状況では、このフレーム依存性は消失する。
• 過減衰極限における非線形シグマ模型の軽いスカラー場に対して、幾何学的整合性を保証する共変なフォッカー・プランク方程式が導出された。
• 誘導項を伴う二場モデルのクラスの統計的性質が、修正されたポテンシャルを持つ有効な単一場モデルによって再現可能である。
• 双曲的場空間における $λ\phi^4$ 理論に対して明示的な結果が得られ、本フレームワークが曲がった場空間幾何構造に適用可能であることが示された。