[論文レビュー] A Critique of PT-Symmetric Quantum Mechanics

Alí Mostafazadeh|ArXiv.org|Oct 28, 2003

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 1被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、PT対称量子力学の確率的枠組みが標準的量子力学の動的法則と整合しないことを示すことで、PT対称量子力学を批判している。PT対称性またはCPT不変性によって観測可能量を定義すると、動的整合性の欠如が生じる――具体的には、時間発展演算子の下で観測可能量がもはや観測不能になることがある――ことにより、PT対称量子力学が適切に定式化されれば、通常の量子力学に還元されることを証明している。したがって、物理的拡張や代替的理論としての価値を持たない。

ABSTRACT

We study the physical content of the PT-symmetric complex extension of quantum mechanics as proposed in Bender et al, Phys. Rev. Lett. 80, 5243 (1998) and 89, 270401 (2002), and show that as a fundamental probabilistic physical theory it is neither an alternative to nor an extension of ordinary quantum mechanics. We demonstrate that the definition of a physical observable given in the above papers is inconsistent with the dynamical aspect of the theory and offer a consistent notion of an observable.

研究の動機と目的

• PT対称量子力学が通常の量子力学の代替的・拡張的理論であるという主張に反論すること。
• PT対称フレームワーク内での物理的観測可能量の定義に生じる整合性の欠如を特定・解消すること。
• 観測可能量にPT対称性またはCPT不変性を要求することが、ハイゼンベルク描像において動的矛盾を引き起こすことを示すこと。
• PT対称性に依存しない、ヒルベルト空間内でのエルミート演算子としての観測可能量の整合的定義を確立すること。
• 任意のPT対称系がユニタリ変換によって標準的量子力学的系（エルミートハミルトニアンを有する）に写像可能であることを示し、物理的新規性がないことを示すこと。

提案手法

• 複素平面における曲線 $ C $ 上で定義された形 $ H = p^2 + x^2(ix)^ u $（$ \nu > 0 $）のPT対称ハミルトニアンの固有値問題を分析する。
• 正定値ヒルベルト空間構造を定義する候補として、CPT内積 $ (\psi, \phi)_+ = \int_C dx \, [\mathcal{CPT} \psi(x)] \phi(x) $ の役割を検討する。
• 非エルミートなPT対称ハミルトニアン $ H $ をエルミートハミルトニアン $ h $ に写像するユニタリ変換 $ \mathcal{U} $ を導入し、観測可能量 $ O $ を $ o = \mathcal{U}^{-1} O \mathcal{U} $ に写像する。
• ハイゼンベルク描像を用いて、観測可能量の時間発展演算子の整合性をテストする。時間発展演算子は $ O_H(t) = e^{itH} O e^{-itH} $ で与えられる。
• 対称性およびCPT不変性を持つ観測可能量（例：$ S_2 $）が時間発展演算子の下で非観測可能演算子（例：$ S_1 $）に変化することを示し、整合性の破綻を示す。
• ヒルベルト空間 $ \mathcal{H} $ 内のエルミート演算子としての観測可能量の整合的定義を提唱し、ユニタリ時間発展演算子のもとで観測可能であることを保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PT対称量子力学は、通常の量子力学を拡張または置き換える整合的確率的定式化を提供できるか？
• RQ2 観測可能量がPT対称性またはCPT不変性を満たすことが、系の動的発展演算子と整合するか？
• RQ3 PT対称量子理論における物理的観測可能量の正しい定義は何か？
• RQ4 CPT内積の存在が、非エルミート量子力学におけるユニタリ性と確率保存の問題を解決するのか？
• RQ5 任意のPT対称量子系は、ユニタリ変換によって標準的量子力学的系（エルミートハミルトニアンを有する）に写像可能か？

主な発見

• 観測可能量をPT対称性またはCPT不変性を持つ演算子として定義すると、動的整合性の欠如が生じる：観測可能量が時間発展演算子の下で非観測可能に変わる。
• モデルハミルトニアン $ H = p^2 + x^2(ix)^ u $ に対して、$ O = S_2 $ のハイゼンベルク発展演算子は $ O_H(t) = \sin[2s\cos\alpha \, t] S_1 + \cos[2s\cos\alpha \, t] S_2 $ となる。ここで $ S_1 $ は対称でもCPT不変でもないため、観測可能量の条件を満たさず、整合性の破綻を示す。
• 文献[2]で提唱された観測可能量の定義は、x軸方向スピンのような測定可能な量を除外しており、空間的等方性を破り、物理的根拠を欠く。
• ヒルベルト空間 $ \mathcal{H} $ 内のエルミート演算子としての観測可能量の定義は、このような整合性欠如を回避し、時間発展演算子のもとで観測可能である性質を保つ。
• ユニタリ時間発展演算子を持つ任意のPT対称量子系は、ユニタリ変換によってエルミートハミルトニアンと標準的観測可能量を有する標準的量子力学的系に写像可能である。
• したがって、PT対称量子力学は通常の量子力学を拡張または置き換えるものではなく、適切に定式化されれば通常の量子力学に還元され、物理的新規性や基礎的利点を持たない。