[論文レビュー] A Cut Finite Element Method with Boundary Value Correction

Erik Burman, Peter Hansbo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、境界値補正を施したカット有限要素法を提案し、幾何的複雑性を克服するため、唯一の区分的線形境界近似で最適収束を達成可能である。法線方向へのテイラー展開を用いて境界条件を補正することで、境界表現の高精度を要せず、エネルギーノルムおよび$L^2$ノルムにおける最適誤差推定が達成される。

ABSTRACT

In this contribution we develop a cut finite element method with boundary value correction of the type originally proposed by Bramble, Dupont, and Thomee. The cut finite element method is a fictitious domain method with Nitsche type enforcement of Dirichlet conditions together with stabilization of the elements at the boundary which is stable and enjoy optimal order approximation properties. A computational difficulty is, however, the geometric computations related to quadrature on the cut elements which must be accurate enough to achieve higher order approximation. With boundary value correction we may use only a piecewise linear approximation of the boundary, which is very convenient in a cut finite element method, and still obtain optimal order convergence. The boundary value correction is a modified Nitsche formulation involving a Taylor expansion in the normal direction compensating for the approximation of the boundary. Key to the analysis is a consistent stabilization term which enables us to prove stability of the method and a priori error estimates with explicit dependence on the meshsize and distance between the exact and approximate boundary.

研究の動機と目的

• カット有限要素法（CutFEM）におけるカット要素上での正確な積分計算の計算的課題に対処すること。
• 幾何計算を簡素化するために、境界の区分的線形近似のみを用いても最適収束率を達成できることを可能にすること。
• 境界近似誤差が存在しても安定性と最適収束を維持する、安定化されたニツェ型弱い境界条件の定式化を開発すること。
• メッシュサイズと境界近似誤差に明示的な依存関係を示す事前誤差推定を証明すること。
• 標準的なCutFEMで要求される$O(h^{p+1})$の境界精度を回避し、低次の境界表現でも最適収束が達成可能であることを示すこと。

提案手法

• 境界の正確な境界上での解を、近似境界における値と微分を用いて法線方向へのテイラー展開により近似するための境界値補正を導入する。
• 近似境界上でのディリクレ条件をニツェ型の弱い形で強制し、法線方向のテイラー展開を用いて幾何的誤差を補正する。
• 境界付近での関数の変動を制御する一貫性のある安定化項を適用し、強制性と最適条件数$O(h^{-2})$を保証する。
• 最近接点写像を用いて正確な境界を定義し、近似領域上で一貫した積分を可能にする。
• 幾何計算を簡素化するために、区分的線形距離関数を用いて離散領域を定義する。
• ニツェ法と境界補正および安定化を組み合わせた対称な変分定式化を導出し、解析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界の区分的線形近似のみを用いても、CutFEMで最適収束を達成できるか？　高次の幾何再構築を回避できるか？
• RQ2 法線方向へのテイラー展開の導入が、カット有限要素法におけるディリクレ境界条件の精度をどのように向上させるか？
• RQ3 境界がメッシュに対して任意に交差する場合でも、安定性と最適条件数を保証する安定化機構は何か？
• RQ4 境界近似誤差が存在する場合でも、エネルギーノルムおよび$L^2$ノルムにおける最適誤差推定が維持されるか？
• RQ5 最小限のテイラー展開項数で、$P^2$や$P^3$などの高次多項式近似に対しても最適収束が達成可能か？

主な発見

• 境界が区分的線形近似でのみ近似されても、エネルギーノルムおよび$L^2$ノルムの両方で最適順序の収束が達成される。
• $P^2$および$P^3$要素では、テイラー展開の最初の2項あれば最適収束率が達成される。
• 安定化項のおかげで、線形方程式系の条件数は、背景メッシュに対する境界の位置に依存せず$O(h^{-2})$のまま維持される。
• 数値結果により、$P^2$要素では収束率2、$P^3$要素では収束率4が確認され、理論的予測と一致する。
• 要素が部分的にカットされても、活性領域を超えて離散解を拡張する必要がなく、安定性と精度が維持される。
• 誤差推定はメッシュサイズ$h$および正確な境界と近似境界の距離に明示的に依存しており、正確な収束解析が可能となる。