[論文レビュー] A Cyclic Operad in the Category of Artin Stacks and Gravitational Correlators

Ivan Kausz|ArXiv.org|Feb 25, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、安定な2点付加付き genus 0 曲線のモジュライ空間が存在しないことの代わりに、新しいモジュライスタック $\widetilde{\mathcal{M}}_{0,2}$ を用いて、Artin スタックの圏における循環的オペラッドを構成する。ホモロジーに移行することで、著者たちは、滑らかで射影な代数多様体のコhomology および重力的量子コhomology を支配すると予想される線形循環的オペラッドを得る。この構造を用いて、ホモロジー環内の代数的恒等式により、既知の重力的相関関数関係式を明示的に検証する。

ABSTRACT

We define an Artin stack which may be considered as a substitute for the non-existing (or empty) moduli space of stable two-pointed curves of genus zero. We show that this Artin stack can be viewed as the first term of a cyclic operad in the category of stacks. Applying the homology functor we obtain a linear cyclic operad. We formulate conjectures which assert that cohomology of a smooth projective variety has the structure of an algebra over this homology operad and that gravitational quantum cohomology can naturally expressed in terms of this algebra. As a test for these conjectures we show how certain well-known relations between gravitational correlators can be deduced from them.

研究の動機と目的

• 安定な2点付加付き genus 0 曲線のモジュライ空間が存在しない問題を解決するため、固定された1点付加付き曲線の変形をパラメータ化するスタック $\widetilde{\mathcal{M}}_{0,2}$ を構築する。
• 標準的なオペラッド $A_*(\overline{M}_{0,n+1})$ を $n=1$ に拡張するため、$n \geq 1$ に対してスタック $\widetilde{\mathcal{M}}_{0,n+1}$ 上に循環的オペラッド構造を定義する。
• 滑らかで射影な代数多様体のコhomology が、この拡張されたオペラッドのホモロジーに値をとる代数的構造を持つと予想する。
• 重力的相関関数が、拡張スタック上での新しいクラス $\tilde{\psi}_i$ を用いて自然に表現できることを示す。

提案手法

• 固定された1点付加付き曲線の変形をパラメータ化する0次元のArtin スタック $\mathscr{W}$ を定義する。
• $\widetilde{\mathcal{M}}_{0,2} := \mathbf{B}\mathbb{G}_m \times \mathscr{W}$ および $n \geq 2$ に対して $\widetilde{\mathcal{M}}_{0,n+1} := \overline{M}_{0,n+1} \times \mathscr{W}^{n+1}$ を構成し、Artin スタックの圏における循環的オペラッドを形成する。
• 「zollstocks」と呼ばれる2点付加付きのprestable genus 0 曲線（線形双対グラフと端点成分上のマークドポイントを有する）のクラッチングにより、$\widetilde{\mathcal{M}}_{0,2}$ が半群構造を持つことを証明する。
• ホモロジーに移行することで、線形循環的オペラッド $(A_*(\widetilde{\mathcal{M}}_{0,n+1}))_{n \geq 1}$ を得る。ここで $A_*(\widetilde{\mathcal{M}}_{0,2}) \cong R[t_0]$ および $n \geq 2$ に対して $A_*(\widetilde{\mathcal{M}}_{0,n+1}) \cong A_*(\overline{M}_{0,n+1}) \otimes R^{\otimes(n+1)}$ であり、$R$ は $\mathscr{W}$ の交差環である。
• $\widetilde{\mathcal{M}}_{0,2}$ の半群構造により誘導される非可換かつ非単位元をもつ積 $\odot$ を $R[t_0]$ 上に定義し、$t_0^{k_1} \odot \cdots \odot t_0^{k_r}$ を基底とする要素が存在することを示す。
• $\overline{M}_{g,n}(V,\beta) \to \widetilde{\mathcal{M}}_{g,n}$ なる自然な準同型 $\widetilde{\operatorname{st}}$ を構成し、通常の安定化写像を上に引き上げる。また $\tilde{\psi}_i$ を $\widetilde{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上のタウトロジカルクラスの引き戻しとして定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Artin スタックの圏において、存在しない安定な2点付加付き genus 0 曲線のモジュライ空間の代わりに、well-defined な代替スタックを構築できるか？
• RQ2 $\widetilde{\mathcal{M}}_{0,2}$ は、$n \geq 1$ に対して $\widetilde{\mathcal{M}}_{0,n+1}$ 上の循環的オペラッド構造と整合する自然な半群構造を持つだろうか？
• RQ3 滑らかで射影な代数多様体のコhomology は、自然にホモロジー・オペラッド $A_*(\widetilde{\mathcal{M}}_{0,n+1})$ 上の代数的構造を持つだろうか？
• RQ4 重力的相関関数は、新しい $\tilde{\psi}_i$ クラスと拡張されたオペラッド構造を用いて体系的に表現できるだろうか？

主な発見

• $\widetilde{\mathcal{M}}_{0,2}$ は $\mathbf{B}\mathbb{G}_m \times \mathscr{W}$ に同型であり、ここで $\mathscr{W}$ は固定された1点付加付き曲線の変形をパラメータ化する0次元のArtin スタックである。
• $A_*(\widetilde{\mathcal{M}}_{0,2})$ は $R[t_0]$ に同型であり、$R$ は $\mathscr{W}$ の交差環である。このホモロジー環は、$\widetilde{\mathcal{M}}_{0,2}$ の半群構造により誘導される非可換かつ非単位元をもつ積 $\odot$ を持つ。
• $(\widetilde{\mathcal{M}}_{0,n+1})_{n \geq 1}$ はArtin スタックの圏における循環的オペラッドであり、$n \geq 2$ に対して $A_*(\widetilde{\mathcal{M}}_{0,n+1}) \cong A_*(\overline{M}_{0,n+1}) \otimes R^{\otimes(n+1)}$ である。
• 予想は、[KM] の定理1.2が $R[t_0]$ 内の単純な恒等式から導かれること、およびこの定理の不安定領域への拡張も同様に予想から導かれることが示されることにより支持される。
• $\widetilde{\operatorname{st}}: \overline{M}_{g,n}(V,\beta) \to \widetilde{\mathcal{M}}_{g,n}$ は通常の安定化写像を上に引き上げる。$\tilde{\psi}_i$ クラスは $\widetilde{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上のタウトロジカルクラスの引き戻しであり、重力的量子コhomology が拡張されたオペラッドを用いて定式化可能である可能性を示唆する。