[論文レビュー] A Cyclic Orbifold Theory for Holomorphic Vertex Operator Algebras and Applications

Sven Möller|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2016

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 27

ひとこと要約

この論文は、整数次元のホロモーフィック頂点作用素代数（VOA）に対する巡回的オルビフォールド構成を発展させ、ホロモーフィック VOA と単純な電流モジュールの結合代数が、有限アーベル群（結合群）の群代数に同型であることを確立している。この群には、自己随伴的重みから得られる非退化な二次形式が備わっている。主な貢献は、中心電荷24の新しいホロモーフィック VOA を生成する体系的な方法を提供することであり、これはシュレルケンスの71個のこのような VOA のリストの一部を完成させる。

ABSTRACT

In this thesis we develop an orbifold theory for a finite, cyclic group $G$ acting on a suitably regular, holomorphic vertex operator algebra $V$. To this end we describe the fusion algebra of the fixed-point vertex operator subalgebra $V^G$ and show that $V^G$ has group-like fusion. Then we solve the extension problem for vertex operator algebras with group-like fusion. We use these results to construct five new holomorphic vertex operator algebras of central charge 24 as lattice orbifolds, contributing to the classification of the $V_1$-structures of suitably regular, holomorphic vertex operator algebras of central charge 24. As another application we present the BRST construction of ten Borcherds-Kac-Moody algebras whose denominator identities are completely reflective automorphic products of singular weight.

研究の動機と目的

• ホロモーフィック頂点作用素代数（VOA）に対する巡回的オルビフォールド構成を発展させ、非対称な群作用を含む既知の手法を拡張する。
• 有限アーベル群作用の下でのホロモーフィック VOA の結合代数および自己随伴的重みデータを分類する。特に、単純電流拡張に注目する。
• 中心電荷24の新しいホロモーフィック VOA を体系的に構成する方法を確立し、シュレルケンスが提唱した分類計画に貢献する。
• 相互作用演算子とモジュラー不変性を用いて、オルビフォールド構成をねじれモジュールおよび固定点 VOA に一般化する。
• 結合群、二次形式、およびモジュラーデータの相乗作用によって、得られる VOA の完全な分類を提供する。

提案手法

• ヴェルレンドの公式を用いて、単純電流モジュールを備えたホロモーフィック VOA の結合代数を、有限アーベル群（結合群）の群代数として定義する。
• すべての非可約モジュールの直和からアーベル相互作用代数を構成し、その関連する二次形式が自己随伴的重み形式の負であることを示す。
• この代数を等方的部分群に制限することで、元の VOA を単純電流拡張によって拡張する新しい VOA を得る。
• 有限巡回群の自己同型作用の下での固定点 VOA を分析し、その結合群が元の群を自分自身で中心拡張したものであることを示す。
• トレース関数のモジュラー不変性および S/T 行列の関係を用いて、結合則と結合群上の二次形式を特定する。
• ラティス VOA にオルビフォールド構成を適用し、ねじれモジュールと特徴関数を用いて新しい VOA 構造を計算し、ホロモーフィック性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホロモーフィック VOA と単純電流モジュールの結合代数は、代数的にどのように特徴付けられるか？
• RQ2 自己随伴的重みから誘導される結合群上の二次形式の構造は何か？ また、相互作用代数とはどのように関係するか？
• RQ3 オルビフォールド構成を自己同型の巡回群に一般化することで、新しいホロモーフィック VOA を生成できるか？
• RQ4 固定点 VOA はオルビフォールド構成において果たす役割は何か？ その結合群は元の群とどのように関係するか？
• RQ5 オルビフォールド法を用いて中心電荷24の新しいホロモーフィック VOA を構成できるか？ また、この方法で生成可能な VOA の数はいくつになるか？

主な発見

• 単純電流モジュールを備えたホロモーフィック VOA の結合代数は、結合群と呼ばれる有限アーベル群の群代数に同型である。
• 自己随伴的重みを1で割ったものから定まる非退化な二次形式は、VOA のモジュラー性質を支配する。
• すべての非可約モジュールの直和は、その関連二次形式が自己随伴的重み形式の負であるアーベル相互作用代数を形成する。
• この代数を等方的部分群に制限することで、元の VOA を単純電流拡張によって拡張する新しい VOA が得られる。
• 有限巡回群の自己同型作用の下での固定点 VOA の結合群は、元の群を自分自身で中心拡張したものである。
• ラティス VOA にオルビフォールド構成を適用することで、中心電荷24の5つの新しいホロモーフィック VOA が得られ、シュレルケンスの71個のこのような VOA のリストの一部が完成する。