[論文レビュー] A Data Driven Method for Computing Quasipotentials

Bo Lin, Qianxiao Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、高次元の確率的力学系において、明示的なモデルを必要とせずに準ポテンシャルを計算するデータ駆動型機械学習手法を提案する。トレースデータ上で訓練されたニューラルネットワークを用いて、ベクトル場をポテンシャル成分と回転成分に直交分解することで、この手法は準ポテンシャルのランドスケープを効率的に再構築でき、高次元PDE や生物学的ネットワークなどの複雑な系におけるレアイベントおよび遷移経路の正確な解析を可能にする。

ABSTRACT

The quasipotential is a natural generalization of the concept of energy functions to non-equilibrium systems. In the analysis of rare events in stochastic dynamics, it plays a central role in characterizing the statistics of transition events and the likely transition paths. However, computing the quasipotential is challenging, especially in high dimensional dynamical systems where a global landscape is sought. Traditional methods based on the dynamic programming principle or path space minimization tend to suffer from the curse of dimensionality. In this paper, we propose a simple and efficient machine learning method to resolve this problem. The key idea is to learn an orthogonal decomposition of the vector field that drives the dynamics, from which one can identify the quasipotential. We demonstrate on various example systems that our method can effectively compute quasipotential landscapes without requiring spatial discretization or solving path-space optimization problems. Moreover, the method is purely data driven in the sense that only observed trajectories of the dynamics are required for the computation of the quasipotential. These properties make it a promising method to enable the general application of quasipotential analysis to dynamical systems away from equilibrium.

研究の動機と目的

• 次元の呪いにより従来の手法が失敗する高次元非平衡力学系における準ポテンシャルの計算という課題に対処すること。
• 特定の遷移点に限定される経路空間最小化法の限界と、高次元では非現実的なメッシュベースの動的計画法の限界を克服すること。
• 基礎的な力学モデルを必要とせず、観測されたトレースデータから直接準ポテンシャルランドスケープを学習する完全にデータ駆動型のアプローチを開発すること。
• 安定な均衡点、極限円周、高次元時空間的ダイナミクスを含む複雑なアトラクタを有する系に対して、スケーラブルでグローバルな準ポテンシャルマッピングを可能にすること。
• 計算された準ポテンシャルランドスケープを用いて、レアイベント、最小作用経路、アトラクタの盆地からの抜ける時間の下流解析を容易にすること。

提案手法

• ベクトル場をスカラー準ポテンシャル関数の勾配であるポテンシャル成分と、発散がゼロの回転成分に分解し、両者を深層ニューラルネットワークでモデル化する。
• 観測されたトレースの再構築誤差と、ポテンシャル成分と回転成分の直交性の両方を含む損失関数を用いてニューラルネットワークを訓練する。
• データポイントにおけるポテンシャルおよび回転ベクトル場の内積がゼロになるように制約を課すことにより、直交性を強制し、物理的整合性を確保する。
• 各アトラクタの吸引域に制限した学習済みポテンシャル成分から準ポテンシャルを計算し、アトラクタにおける値を基準点として用いる。
• 学習済みダイナミクスを用いてトレースをシミュレートし、最小作用法などの既知のベンチマークと比較して準ポテンシャルランドスケープの正確さを検証する。
• 主なフーリエモードで定義される低次元部分空間への状態の射影を用いて、40次元の反応拡散系を含む高次元系に本手法を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 明示的なモデル知識がなく、高次元確率的力学系におけるグローバルな準ポテンシャルランドスケープをデータ駆動型機械学習手法が正確に計算できるか。
• RQ2 ニューラルネットワークがトレースデータのみから、ベクトル場のポテンシャル成分と回転成分への直交分解をどれほど正確に学習できるか。
• RQ3 極限円周や高次元時空間的ダイナミクスを有するような複雑なアトラクタを有する系において、本手法が準ポテンシャルランドスケープを効果的に捉えることができるか。
• RQ4 従来の経路空間最小化法およびメッシュベースの動的計画法と比較して、本手法の正確さと収束特性はいかがなものか。
• RQ5 計算された準ポテンシャルが、レア遷移イベント、最小作用経路、およびアトラクタの盆地からの抜ける時間の予測にどの程度活用できるか。

主な発見

• 本手法は、40次元の反応拡散系について、$4 \times 10^6$ 個のトレースデータポイントのみを用いて準ポテンシャルランドスケープを計算し、テストトレースにおける再構築誤差が $8.227 \times 10^{-4} \pm 6.741 \times 10^{-4}$ であった。
• データ駆動型手法によって計算された準ポテンシャル等高線は、最小作用法で得られたものとよく一致しており、その正確性が裏付けられた。
• 空間離散化や経路最適化を一切行わず、グローバルな準ポテンシャルマッピングを達成しており、従来手法のスケーラビリティの限界を克服した。
• ニューラルネットワークベースの直交分解は、物理的に意味のあるポテンシャル成分と回転成分にベクトル場を効果的に分離でき、安定した準ポテンシャル推定を可能にした。
• 本手法により、最小作用経路の特定や、アトラクタの盆地からの抜ける時間の推定といった下流解析が、準ポテンシャルランドスケープを用いて可能になった。
• 本手法は完全にデータ駆動型である：明示的なストキャスティック微分方程式の形を必要とせず、観測されたトレースデータから同時に力学的ダイナミクスと準ポテンシャルを学習する。